Квадратурная формула Симпсона

В соответствии с формулами (12.9), (12.10) предыдущего раздела погрешности формул прямоугольников и трапеций содержат подобные члены. Скомбинируем составные формулы прямоугольников и трапеций так, чтобы обнулить главный член погрешности E. Получим в результате составную формулу Симпсона:

(12.11)

Иначе формулу Симпсона можно найти, если аппроксимировать подынтегральную функцию на подотрезках с помощью интерполяционного многочлена второго порядка и вычислить интеграл.

Найдем погрешность формулы Симпсона как взвешенную сумму погрешностей формул прямоугольников и трапеций:

(12.12)

Формула Симпсона имеет четвертый порядок точности и дает точное значение интеграла для кубической подынтегральной функции. Если длину каждого подотрезка уменьшить вдвое, то погрешность вычислений на всем отрезке интегрирования уменьшится примерно в 16 раз.

Пример 12.2. С помощью формулы Симпсона вычислим значение интеграла . Проведем вычисления дважды:

1) применяя формулу ко всему отрезку интегрирования ;

2) поделив отрезок интегрирования пополам.

Расчеты в среде Mathcad показаны на рис. 12.2. Видим, что при делении отрезка пополам погрешность вычислений уменьшается во много раз. Сравнивая полученные результаты с результатами вычислений в примере 12.1. замечаем также, что формула Симпсона значительно точнее формул прямоугольников и трапеций.