![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Содержание
12.1. Простейшие квадратурные формулы 2
12.2. Квадратурная формула Симпсона 4
12.3. Правило Рунге 4
12.4. Формула сплайн-квадратуры 5
12.5. Адаптивные квадратурные алгоритмы 6
12.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа 7
12.6.1. Определение формулы интерполяционного типа 7
12.6.2. Оценка погрешности формулы интерполяционного типа 8
12.6.3. Симметричные квадратурные формулы 9
12.7. Формулы Ньютона-Котеса 10
12.8. Квадратурные формулы Гаусса 11
12.8.1. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 11
12.8.2. Условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы 15
12.8.3. Теоремы о многочлене, определяющем положение узлов формулы Гаусса 21
12.8.4. Свойство коэффициентов формулы Гаусса 22
12.8.5. Оценка погрешности формул Гаусса 22
12.8.6. Связь формул Гаусса с системами ортогональных многочленов 22
12.9. Процесс Эйткена 28
12.10. Интегрирование разрывных функций 29
12.11. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования 30
12.12. Вычисление несобственных интегралов 30
12.12.1. Интегралы с бесконечными пределами 30
12.12.2. Подынтегральная функция с бесконечными значениями 31
Задачи 32
Ответы 33
12.1. Простейшие квадратурные формулы
Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов называют квадратурными формулами.
Пусть речь идет о вычислении интеграла
(12.1)
Предполагаем, что функция f (x) определена и может быть вычислена для любого .
Пусть отрезок интегрирования [ a,b ] разбит на n подотрезков . Пусть, далее,
. Ясно, интеграл
можно представить в виде суммы
, где
. (12.2)
Простой квадратурной формулой называется каждая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл .
Составная квадратурная формула – это формула, дающая представление интеграла в виде суммы (12.2).
Две простейшие квадратурные формулы: формула прямоугольников и формула трапеций.
Обозначим:
. (12.3)
Формула прямоугольников аппроксимирует каждый интеграл площадью прямоугольника с основанием
и высотой
:
.
Составная формула прямоугольников:
. (12.4)
Формула трапеций аппроксимирует каждый интеграл площадью трапеции с основанием
и высотой, линейно меняющейся от
до
:
.
Составная формула трапеций:
. (12.5)
Обозначим . Если
интегрируема по Риману, то
.
Предположим, что функция имеет пять непрерывных производных, и что значения этих производных не слишком велики. Разложим функцию
в ряд Тейлора относительно центра подотрезка
:
(12.6)
Найдем интеграл
Проинтегрируем ряд (12.6)
(12.7)
Из этой формулы следует, что при малых погрешность формулы прямоугольников на подотрезке
равна
плюс члены более высокого порядка.
Найдем погрешность формулы трапеций. Подставим в формулу (12.6) значения и
:
,
,
. (12.8)
Умножим (12.8) на и вычтем из (12.7):
Получаем отсюда
Таким образом, при малых погрешность формулы трапеций на подотрезке
равна
плюс члены более высокого порядка.
Общая погрешность каждой из формул равна сумме погрешностей на отдельных подотрезках. Введем обозначения:
. (12.9)
Тогда
(12.10)
Если все достаточно малы и производная
не слишком велика,
, и главный член погрешности зависит от
. Отсюда следует, в частности, что для многих функций формула прямоугольников примерно в два раза точнее формулы трапеций.
Формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, они дают точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции.
Если каждый подотрезок поделить пополам, то все значения , входящие в главный член погрешности E уменьшатся в 8 раз. Однако, поскольку количество подотрезков удвоится, то E уменьшится примерно в 4 раза. Разность результатов, полученных до и после удвоения числа подотрезков можно использовать для оценки погрешности и уточнения результата. Это возможно и для формулы прямоугольников, и для формулы трапеций, однако, лишь для достаточно гладких подынтегральных функций.
Пример 12.1. С помощью формул прямоугольников и трапеций вычислим интеграл , разбив отрезок интегрирования на два подотрезка. Сравним полученные результаты с точным значением интеграла
. Решение в среде Mathcad показано на рис. 12.1. Видим, что погрешность формулы трапеций примерно в 2 раза выше погрешности формулы прямоугольников.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 655 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!