Предмет и задачи математической статистики

В задачах теории вероятностей исходят из того, что задано вероятностное пространство, множество элементарных исходов и вероятность любого события.

Так, например, если изучается некоторое случайное событие А, то вероятность его появления известна и равна Р(А). Если же речь идёт о случайной величине Х, то известен закон распределения вероятностей в какой-либо форме и, как следствие, числовые характеристики исследуемой случайной величины.

В практических задачах эти характеристики, как правило, неизвестны, но имеются некоторые экспериментальные данные о событии или случайной величине. Требуется на основании этих данных построить подходящую вероятностную модель изучаемого явления, то есть приближённо оценить неизвестные законы распределения и числовые характеристики исследуемой случайной величины. Это и является задачей математической статистики. В математической статистике единственным объектом изучения явлются данные эксперимента. Результаты эксперимента выражаются значениями некоторой случайной величины. По экспериментальным данным строится вероятностная модель явления, соответствующая этим данным, т.е. интерпретация данных.

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Первая задача математической статистики: указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате экспериментов.

Вторая задача математической статистики: разработать методы анализа статистических данных.

Ко второй задаче относятся:

• Оценка неизвестных параметров (вероятности события, функции распределения и её параметров и т.д.) с построением доверительных интервалов (методы оценивания).
• Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и параметров распределения (методы проверки гипотез).

Математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оценить, значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе случайных явлений.

Основные понятия математической статистики

Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным образом отбирают объекты, которые называется выборкой, при этом число n называется объёмом выборки.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Объёмом выборки называют число объектов этой выборки. Выборку делают либо из ранее полученных результатов, либо планируют эксперимент. По результатам выборки строят простой статистический ряд в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой строке записывают порядковый номер измерения, во второй – его результат x_i. Затем производят группировку данных. Вначале x_i располагают в порядке возрастания, интервал наблюдаемых значений случайной величины разбивают на последовательные непересекающиеся частичные интервалы, далее подсчитывают количество значений x_i, попавших в каждый интервал, т.е. n_i. Таким образом, получается группированный статистический ряд или статистическое распределение выборки.

Статистическим распределением выборки илистатистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример_1. После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей 6, где объем выборки n = 15.

Таблица 6

i
xi
ni

В таблице 6 значения x_i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке (вся строка x_i) называется вариационным рядом. Число наблюдений n_i называют частотами, i – номер варианты.

В таблице 6 сумма всех значений частот n_i, записанных в третьей строке, равна объёму выборке, что записывается в виде:

.

где: n – это объём выборки, k – количество вариант.

Отсюда можно найти относительную частоту p_i=n_i/n, наблюдаемого значения x_i – варианты.

Тогда таблица 6 будет иметь вид:

Таблица 7

i
xi
ni/n	0,33	0,33	0,2	0,14

Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы. Если выборка задана в виде отдельных точек, тогда строят полигон частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (x_i; n_i/n). На рис.10 изображён полигон относительных частот, приведённых в таблице 7.

Относительная частота nii/n

0,1

0,2

0,3

0,4

ni/n

Рис. 10. Полигон относительных частот

Пример_2. В этом примере наблюдаемые значения случайной величины после группировки данных в выборке разбиты на последовательные непересекающиеся частичные интервалы. В результате получается статистический ряд, который задан таблицей 8.

Таблица 8

i
xi	0¸2	2¸4	4¸6	6¸8
ni

Данную таблицу можно представить через относительную частоту p_i =n_i/n (где объем выборки n = 30) в таблице 9.

Таблица 9

i
xi	0¸2	2¸4	4¸6	6¸8
рi=ni/n	0,17	0,33	0,4	0,1

При этом частоты р_i в таблицах 7, 9 удовлетворяют условию .

Если выборка задана в виде интервалов, тогда строят гистограмму.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы x_i, их высоты равны р_i =n_i/n (плотности относительной частоты). На рис.11 изображена гистограмма относительных частот, приведённых в таблице 9.

Рi =ni/n

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 2 4 6 8

Рi =ni/n

Рис.11. Гистограмма относительных частот