Пример выполнения задания контрольной работы

по теме «Дискретная случайная величина»

Пример_1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0,1,2,3. Следует найти вероятность появления герба в одном испытании.

Решение. Вероятность появления герба в одном испытании равна р =1/2. Противоположное ему событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле (9a) равна q =1–p=1/2.

Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не выпал в одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал», которое обозначим Р (0), вероятность вычисляется по формуле умножения (11) для независимых событий:

.

Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал в одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один раз герб выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формуле (7), где каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения (11) для независимых событий:

.

Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:

.

Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (11).

.

Здесь: p₁, p₂, p₃ – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

q₁, q₂, q₃ – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

Результаты вычислений вынесены в таблицу 1.

Таблица 1

Результаты вычислений

Событие Х	герб не выпал	герб выпал 1 раз	герб выпал 2 раза	герб выпал 3 раза
хi
Вероятность события Р(хi)= рi

Пример_2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Если х £ 0, то F(х) = Р (Х < х) = 0.

Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8.

Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 = 0,5.

Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.

Если х > 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

В таблицу 2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.

Таблица 2

Функция распределения вероятности F(х)

№
хi					>3
функция распределения F(х)		0,125	0,5	0,875

Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 1 в таблицу 3.

Таблица 3

Ряд распределения Р(х_i)= р_i

№
хi
Ряд распределения Р(хi)= рi	0,125	0,375	0,375	0,125

Многоугольник распределения вероятности представлен на рис.6.

Вероятность события: Р(хi)= рi

0,1

0,2

0,3

0,4

Вероятность

события

Р(хi)= рi

Рис.6 Многоугольник распределения

Функция распределения вероятности представлена на рис.7.

функция распределения F(х)

0,5

1,5

функция

F(x)

Рис.7. Функция распределения

Пример_3. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 4.

Таблица 4

Х	-5
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Решение.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле (18):

М(Х) = x₁· p₁ + x₂· p₂ + … + x_n· p_n.

М(Х) = - 5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = - 0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (20):

D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]².

Закон распределения Х² представлен в таблице 5.

Таблица 5

Х2
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание М(Х²) вычисляется по формуле (18):

М(Х²) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]² = 15,3 -(-0,3)² = 15,21.

Тогда среднее квадратическое отклонение будет:

.