Характеристики дискретной случайной величины

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности

М(Х) = x₁· p₁ + x₂· p₂ + … + x_n· p_n. (20)

Свойства математического ожидания:

• Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
• Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
• Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т.е. М(С) = С.
• Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е.

М(X + Y +... + W) = М(X) + М(Y) +... + М(W).

• Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин, т.е. М(XY) = M(X) × M(Y).
• Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную С равно произведению математического ожидания случайной величины: М(СХ) = С× М(Х).

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания

D(X) = M [X – M(X)]² (21)

Формула (21) после возведения в степень и преобразований имеет вид

D(X) = M (X²) – [M(X)]². (22)

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Свойства дисперсии:

• Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D(С) = 0.
• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX) = С2 D(X).
• Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).

Средним квадратическим отклонением s(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии

(23)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X) =0, и стандартизированной, если M(X) =0 и среднее квадратическое отклонение s =1.