Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность

Условной вероятностью Р_A(В) или Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Р(А×В)=Р(А)×Р_А(В) (14)

Пример_6. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.

Решение. Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.

Обозначим событие (А×В/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, а затем второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился .

Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился .

В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов вычисляется по формуле (14):

.

Условная вероятность события А_k, определенная в предположении, что осуществились события A₁, A₂,...A_k-1 записывается в виде: P(A_k/A₁×A₂×...×A_k-1).

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место Р(А₁×А₂×...×А_k)=Р(А₁)×Р(А₂/А₁)×Р(А₃/А₁А₂)... Р(А_k/А₁А₂...А_k).