Пример выполнения задания контрольной работы. по теме «Теоремы сложения и умножения»

по теме «Теоремы сложения и умножения»

Пример_1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

1. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

2. Найти вероятность того, что будет одно и только одно попадание в цель.

3. Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.

4. Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

5. Найти вероятность промаха всех стрелков одновременно.

Решение. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что

Р(А) =0,6; Р(В) =0,7; Р(С) =0,75.

По формуле (9) вероятность противоположных событий равна:

; ; .

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А+В+С).

Событие () – все промахнулись.

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель:

.

P(A+B+C) =1– (1– 0,6)×(1– 0,7) ×(1– 0,75)=1– 0,4 × 0,3 × 0,25 = 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: .

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (7), (12):

.

Р(D) =0,6×(1–0,7)×(1–0,75)+0,7×(1–0,6)×(1–0,75)+0,75×(1–0,6)×(1– 0,7) = 0,205.

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка. Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка. .

.

P(X) =(1–0,6)×0,7×0,75+0,6×(1–0,7)×0,75+0,6×0,7×(1–0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно. Событие A×B×C – все попали в цель.

P(A∙B∙C) = P(A) × P(B) × P(C) = 0,6 × 0,7× 0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно .

Событие – все промахнулись.

.

Для проверки правильности решения используют формулу (8) для полной группы событий:

Р(А₁) + (А₂) +…+ Р(А_k) = 1.

.