Умножение вероятностей независимых событий

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

Р(А×В)=Р(А)×Р(В) (11)

Данную строку можно прочитать следующим образом – вероятность события А и В равна вероятности события Р(А) и события Р(В).

Запись в виде Р(А)×Р(В) можно представить в виде Р(А)ÇР(В). Символ Ç (пересечение) взят из теории множеств.

Пример_3. Студент сдаёт два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р₁=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р₁ =0,7.

Решение. Оба события независимы. Вероятность сдать два экзамена – р.

р=Р(А×В)=Р(А)×Р(В)=р₁×р₂ =0,7×0,8=0,56.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А₁×А₂×…×А_k)=Р(А₁)×Р(А₂)×…×Р(А_k) (12)

Пример_4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение. Пусть событие А – попал первый стрелок, событие В – попал второй стрелок, событие С – попал третий стрелок. По теореме умножения для независимых событий (12) получим: Р(А×В×С)=Р(А)×Р(В)×Р(С) =0,75×0,8×0,9=0,54.