Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Означення: Диференціальні рівняння вигляду

M(x) dx +N(y)dy=0 (1)

називаються диференціальними рівняннями з відокремленими змінними.

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

∫M(x)dx + ∫N(y)dy=C (2)

і розв’язок задачі Коші з початковими умовами х = х₀, у = у₀ має вигляд

(3)

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними зводяться до знаходження інтегралів.

Приклад 1:

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв'язування

Це є рівняння з відокремленими змінними

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Інтегруючи, одержимо

Відповідь:

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Це є рівняння з відокремленими змінними

Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо

отримаємо

або

Так як С довільна величина, то можна позначити 2С через , взявши до уваги, що ліва частина рівності додатня.

Тоді рівняння прийме вигляд:

Це і є загальний розв'язок або, як говорять, загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

З геометричної точки зору ми отримали сімейство (сукупність) концентричних кіл з центром в початку координат і радіусом, рівним С.

(Зрівняйте отримане рівняння з відомим рівнянням кола вигляду:

Відповідь:

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо:

отримаємо:

або

довільну змінну С можна позначити через

тоді

Подамо в правій частині рівняння суму логарифмів в вигляді логарифма добутку

звідки

Це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

З геометричної точки зору ми отримали рівняння сукупності прямих, центром яких є точка М(1;-1) з кутовим коефіцієнтом С.

Відповідь: