Приклад 6,7.Знайти інтеграли ,

Розв’язання:

Використаємо табличний інтеграл 13, одержимо

= sin3x + C.

= e^2x-3 + C.

Відповідь: = sin3x + C; = e^2x-3 + C.

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Знайти множину всіх первісних функцій.

a)

b)

2. Знайти невизначені інтеграли.

a)

b)

c)

d)

e)

Тема: Визначений інтеграл та його властивості

План

1. Означення визначеного інтеграла.

2. Властивості визначеного інтеграла.

Література:

1.Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища

математика" (К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова, О.І.Лютий та ін.) ст.265-268.

2.Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.

Студенти повинні знати: означення визначеного інтеграла, та його властивості.

Студенти повинні вміти: застосовувати властивості визначеного інтеграла до знаходження інтегралів.

Визначений інтеграл і його властивості

Розглянемо на відрізку [а,b] деяку неперервну функцію у = f(x) Розіб'ємо відрізок [а,b] довільним чином на п частин точками: а = х₀ <х₁ <х₂ <...<х_i-1 < х_i <...<x_n =b

Довжину кожного часткового відрізка позначимо х_i= х_i –х_i-1 (і = 1...n)

На кожному з відрізків розбиття виберемо довільним чином точки.

, (i=1…n).

Обчислимо f() - значення функції f(x) в цих точках.

Складемо суму S_n =

Ця сума називається інтегральною сумою функції f(х) на [а,b]

Позначимо через довжину найбільшого часткового відрізка розбиття: = max х_i

Означення: Визначеним інтегралом функції f(х) на відрізку [а;b] наз. скінченна границя інтегральної суми S_n за умови, що довжина найбільшого часткового відрізка розбиття прямує до нуля ( = max х_i -> 0), яка не залежить від способу розбиття та вибору точок і позначається

Означення:

Визначеним інтегралом від заданої функції y= f(x),неперервної на відрізку називається приріст первісної на цьому відрізку.

– формула Ньютона-Лейбніца.

а - нижня межа інтегрування;

b - верхня межа інтегрування;

F(x) - первісна;

F(b) - значення первісної в точці х = b;

F(a) - значення первісної в точці х = a.

Визначений інтеграл від заданої функції це є число.

Щоб знайти визначений інтеграл необхідно:

1) знайти невизначений інтеграл;

2) спростити первісну;

3) підставити замість х верхню межу інтегрування, нижню межу інтегрування і від першого результату відняти другий.

Властивості визначеного інтеграла

1. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

1. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить свій знак на протилежний,тобто

.

3. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів:

.

4. Сталий множник можна винести з-під знака визначеного інтеграла, тобто

.

5. Проміжок інтегрування у визначеному інтегралі можна розбити на частини:

.

6. Якщо f(x) i g(x) – інтегровні та f(x) ≥ g(x) для х є , b > a, то

.

Приклад 1. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

= =

= .

Відповідь: = 6.

Друга форма запису:

= .

Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

= =

= .

Відповідь: = 16.

Метод підстановки у визначеному інтегралі

Метод підстановки у визначеному інтегралі аналогічний методу підстановки у невизначеному інтегралі з тією різницею,що,виконуючи заміну, необхідно знаходити нові межі інтегрування.

Приклад 3. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

Зробимо заміну змінної.

Нехай sinx = t. Тоді cosxdx = dt. Знайдемо нові межі інтегрування:

х_н = 0; t_н = sin0 = 0.

х_в = ; t_в = sin = 1.

= .

Відповідь: = .

Приклад 4. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

=

= .

Відповідь: = .

Приклад 5. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

= .

Відповідь: = .

Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

= .

Відповідь: =

Завдання для самостійного розв‘язування

Обчислити визначені інтеграли:

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

Тема: Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла

План

1. Криволінійна трапеція.

2. Площа криволінійної трапеції.

3. Формула Ньютона-Лейбніца.

4. Приклади обчислення площ плоских фігур.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - с. 271-273.

Студенти повинні знати: поняття криволінійної трапеції, геометричний зміст визначеного інтеграла, формулу Ньютона-Лейбніца, таблицю інтегралів.

Студенти повинні вміти: обчислювати площі плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла.

Означення: Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена лініями

1)

1)Площа криволінійної трапеції дорівнює

Для обчислення визначеного інтеграла застосовують формулу Ньютона-Лейбніца:

2) Якщо то .

3) Якщо фігура обмежена лініями – неперервна, то площа фігури

4) Якщо то

5) Якщо фігура обмежена лініями і – неперервні функції, та для то площа фігури обчислюється за формулою:

Приклади обчислення площ плоских фігур

1) Обчислити площу фігури, обмежену лініями Зобразимо фігуру, площу якої потрібно обчислити.

2) Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями

Зобразимо дану фігуру на координатній площині. Для цього накреслимо графік функції

Отже, точка є вершиною параболи; точка – точка перетину з віссю

, тому точок перетину з віссю немає. Вімки параболи напрямлені вгору.

Дана фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площа дорівнює:

3) Обчислити площу фігури, обмеженої лініями Зобразимо фігуру, обмежену даними лініями.

Знайдемо абсциси точок перетину графіків, які будуть межами інтегрування.

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями.

a)

b)

c)

d)

Тема: Обчислення довжини дуги кривої і площі поверхні за допомогою визначеного інтеграла

План

1. Означення неперервної плоскої кривої та дуги кривої.

2. Обчислення довжини дуги кривої.

3. Поняття поверхні обертання, площі поверхні.

4. Обчислення площі поверхні обертання.

Література:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: – М.:Высш. шк., 1990 – гл. 13, § 6.

2. Пискунов Н. С. Диференциальное и интегральное исчисление: – М.: Наука, 1972. гл. 12, § 3,6.

Студенти повинні знати: поняття плоскої кривої та дуги кривої, поверхні обертання, формули для обчислення довжини дуги кривої та поверхні тіл обертання.

Студенти повинні вміти: обчислювати довжину дуги кривої та поверхні тіла обертання за формулами.

Довжина дуги кривої

Нехай плоска крива задана рівнянням причому і неперервні на проміжку

Тоді диференціал довжини дуги виражається формулою:

або а довжина дуги обчислюється за формулою: (1)

де і – значення незалежної змінної в точках і .

Якщо криву задано рівнянням то довжина дуги обчислюється за формулою: (2)

де і – значення незалежної змінної в точках і

Розглянемо приклади обчислення довжини дуги кривої.

Приклад 1. Знайти довжину дуги параболи між точками і

Розв‘язання:

Диференціюємо рівняння парпаболи За формулою (1):

Приклад 2. Знайти довжину параболи між точками і

Розв‘язання:

Використаємо формулу (2), за аргумент приймаємо змінну .

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити площу поверхні, що утворює при обертанні дуги кривої навколо осі

2. Знайти довжину дуги параболи між точками її перетину з віссю

Тема: Обчислення об‘ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла

План

1. Обчислення об‘єму тіла, знаючи закон зміни площі його поперечного перерізу.

2. Об‘єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі OX або OY.

Література:

1.Вища математика: Навч. – метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – с. 273 – 275.

Студенти повинні знати: формули для обчислення об‘ємів тіл за допомогою інтеграла.

Студенти повинні вміти: обчислювати об‘єми тіл за допомогою визначеного інтеграла.

Нехай функція – площа поперечного перерізу тіла площиною, перепендикулярною осі в деякій точці Відрізок дає лінійний розмір тіла у напрямі осі .

Тоді об‘єм тіла обчислюється за фомулою:

(1).

Для обчислення об‘єму тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями застосовують формулу:

(2).

Об‘єм тіла, утвореного обертанням навеоло осі фігури, що обмежена лініями

обчислюють за формулою:

(3).

Розглянемо приклади обчислення об‘ємів тіл

Приклад 1. Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями

Розв‘язання:

За формулою 2:

Приклад 2. Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями

Розв‘язання:

Застосуємо формулу (3), для цього з рівняння прямої виразимо через .

Тоді

Завдання для самостійного розв‘язування.

Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями:

1) навколо осі ,

2) навколо осі .

Тема: Розв‘язування фізичних і технічних задач на застосування визначеного інтеграла

План

1. Шлях при нерівномірному русі.

2. Робота змінної сили.

3. Сила тиску рідини на поверхню.

Література:

1.,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева, часть 1– М.: Наука,1987. – § 48.

Студенти повинні знати: формули для обчислення шляху при нерівномірному русі, роботи змінної сили, сили тиску рідини на поверхню за допомогою визначеного інтеграла.

Студенти повинні вміти: розв‘язувати фізичні задачі за допомогою визначеного інтеграла.

Шлях пройдений матеріальною точкою, яка рухається прямолінійно зі швидкістю обчислюється за формулою:

(1).

Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається під дією змінної сили напрямленої вздовж осі Робота змінної сили при переміщенні тіла з точки в точку дорівнює:

(2).

Сила тиску на вертикально занурену в неї пластину, яка має форму криволінійної трапеції, що відповідає графіку функції обчислюється за формулою.

(3)

де – прискорення вільного падіння, – густина рідини.

Приклади розв‘язування задач

Задача 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за четверту секунду руху.

Розв‘язання.

За формулою (1):

Задача 2. Знайти силу тиску масла(густина масла ) на вертикальну стінку, яка має форму півкруга радіусом діаметр якого знаходиться на поверхні масла.

Розв‘язання:

Виберемо систему координат так, як показано на рисунку.

Так як стінка являє собою півкруг, радіус якого а центр розміщений в початку координат, то

Для обчислення сили тиску масла скористаємось формулою (3).

Задача 3. Яку роботу потрібно виконати, щоб розтягнути пружину на 0,05м, якщо сила в 1Н розтягує її на 0,01м?

Розв‘язання:

За законом Гука сила, яка розтягує пружину, де – величина розтягу, – коефіцієнт пропорційності.

Отже, і

Роботу, яку необхідно виконати, обчислимо за формулою (2):

Задача 4. Обчислити тиск на греблю, що має має форму рівнобічної трапеції, верхня основа якої , а нижня – висота

Розв‘язання:

Розмістимо координатні осі так, як зображено на рисунку.

Щоб застосувати формулу (3), потрібно написати рівняння За побудовою тому

Запишимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:

Тоді

Для води а

Тому

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Швидкість руху матеріальної точки змінюється за законом Знайти шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

2. Яку роботу виконує сила у 8Н при розтягуванні пружини на 6 см?

3. Обчислити силу тиску на одну із стінок акваріуму, довжина якого 30 см, висота – 20 см.

Тема: Невласні інтеграли та їх обчислення

План

1. Означення невласного інтеграла.

2. Збіжні та розбіжні інтеграли.

3. Геометричний зміст невласного інтеграла.

4. Ознака порівняння збіжності невласних інтегралів.

5. Приклади обчислення невласних інтегралів.

Література:

1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1972. – Гл. XI, § 7.

Студенти повинні знати: означення невласного інтеграла, геометричний зміст, поняття збіжного та незбіжного інтеграла.

Студенти повинні вміти: обчислювати невласні інтеграли.

Нехай функція визначена і неперервна при всіх значеннях таких, що

Розглянемо інтеграл Він має зміст при будь-якому

Означення: Якщо існує скінченна границя то цю границю називають невласним інтегралом від функції на інтервалі і позначають

Отже, за означенням

Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл

існує або є збіжним.

Якщо при не має скінченної границі, то говорять, що

не існує або є розбіжний.

Геометричний зміст невласного інтеграла

Невласний інтеграл виражає площу нескінченної області, обмеженої лініями віссю абсцис.

Аналогічно визначаються інші невласні інтеграли:

Ознака порівняння збіжності невласних інтегралів:

Нехай Тоді:

1) Якщо невласний інтеграл збіжний, то збіжним є і невласний інтеграл при цьому

2) Якщо невласний інтеграл розбіжний, то розбіжним є і невласний інтеграл

3)

Розглянемо приклади обчислення невласних інтегралів

Приклад 1. Обчислити інтеграли.

Приклад 2. З‘ясувати при яких значеннях інтеграл є збіжним, при яких розбіжним.

При

За означенням невласного інтеграла

Якщо то інтеграл збіжний.

Якщо то інтеграл розбіжний.

Якщо то інтеграл розбіжний.

Завдання для самостійного розв‘язання

1)

2)

3)

4)