Свойства определенного интеграла

Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

Свойство 2. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак:

Свойство 3. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:

Свойство 4. Для любого числа с Є [a;b]:

По формуле Ньютона-Лейбница:

Свойство 5. Определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждого слагаемого:

4. Определенный интеграл находит широкое применение при решении задач различного характера.

1) Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций

у = f(x), y = g(x) непрерывных на отрезке [ a; b ] и таких, что для всех х отрезка [ a; b ] выполняется неравенство g(x) f(x), вычисляется по формуле

.

Пример - Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,

у = 5 – х, х = 1, х = 2.

Решение. Воспользовавшись формулой получим

S =

2) Работу, производимую силой, находят по формуле:

,

где F – сила, действующая на материальную точку, движущуюся по прямой.

3) Вычисление пути, пройденного материальной точкой производят по формуле:

,

где - скорость точки при движении ее по некоторой линии за промежуток времени [t₁, t₂]

4) Вычисление объемов тел.

Объем тела можно вычислить по формуле:

,

где S(x)- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной отрезку [ a;b ].

Контрольные вопросы.

1 Что называется первообразной? Перечислите правила отыскания первообразных.

2 Что называется неопределенным интегралом?

3 Сформулируйте правила интегрирования?

4 Что называется определенным интегралом? Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

5 При решении каких задач находит применение определенный интеграл?