Исследование функций на максимум и минимум

Точка x₀ называется точкой максимума функции ƒ(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(x)<ƒ(x₀).

Точка x₀ называется точкой минимума функции ƒ(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠x₀ из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(x)>ƒ(x₀).

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Точка максимума служит границей перехода функции от возрастания к убыванию, а точка минимума – границей перехода функции от убывания к возрастанию.

Необходимо отметить, что функция может иметь либо только один максимум (например, функция y = -x²) или только один минимум (например, функция y = x²), либо множество максимумов и минимумов (например, y =sin x), либо не иметь ни максимума, ни минимума (например, y =tg x).

Точки, в которых производная функция равна нулю, называются стационарными.

Если при переходе через стационарную точку (такую, в которой производная функция равна нулю) x₀ функции ƒ(x) ее производная меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. слева от точки x₀ значение ƒ′(x) > 0, а справа от точки x₀ значение ƒ′(x) < 0, то точка x₀ является точкой максимума функции ƒ(x).

Если ƒ′ (x) =0 в некоторой точке, то это значит, что угловой коэффициент касательной к графику функции в соответствующей точке равен нулю, т.е. касательная в этой точке параллельна оси абсцисс.

Рассмотрим график функции у = g(х), изображенный на рисунке 4.1

Рисунок 4.1

Здесь точка x₀ соответствует минимуму функции φ(x) при x = x₀. Производные в точках, лежащих правее точки В, являются положительными (углы β₂ острые, тангенсы этих углов положительны), и наоборот, производные в точках, лежащих левее точки В, являются отрицательными (углы β₁ – тупые, соответствующие тангенсы меньше нуля). Так как производная функции непрерывна, то при переходе производной от отрицательных значений к положительным она обратится в нуль при x = x_0.

Если при переходе через стационарную точку x₀ функции ƒ(x) ее производная меняет знак с отрицательного на положительный, то точка x₀ является точкой минимума функции ƒ(x).

Функция может иметь экстремум в точке, в которой эта функция не имеет производной (в качестве примера можно указать функцию y(x) = | x |; ƒ′(x) не существует; x = 0 - точка минимума функции). Стационарные точки, а также такие, в которых функция не имеет производной, в совокупности называются критическими точками этой функции.

Теорема. Если в точке x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x₀ есть точка минимума. Если в точке x₀ производная меняет знак с плюса на минус, то точка x₀ есть точка максимума.