Правила отыскания первообразных

Правило 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют на промежуткеX первообразные, соответственно, y=F(x) и y=G(x), то сумма функций y= f(x)+g(x) имеет на этом промежутке первообразную y= F(x)+G(x).

Пример - Найти первообразную для функции y= 2x+cosx.

Решение. Первообразной для функции 2x служит x², для cosx служит sinx. Значит, первообразной для данной функции будет функция y=x²+ sinx+C, где C-const.

Правило 2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

Пример - Найти первообразную для функции y=5sinx.

Решение. Первообразной для sinx служит –cosx, значит, для функции

y= -5sinx первообразной будет y=- 5cosx.

Правило 3. Если y=F(x)- первообразная для функции y=f(x), то первообразной для функции y=f(kx+m) служит функция ..

Пример -Найти первообразную для y= sin2x.

Решение. Первообразной для sinx служит – cosx, значит, для функции y=sin2x первообразной будет функция

4.2.2 Теорема. Если F(x)- первообразная для f(x) на некотором промежутке,то функция y= F(x)+C, где C- const, также является первообразной для f(x) на этом промежутке.

Определение. Множество всех первообразных для функции y=f(x) заданной напромежутке X, называют неопределенным интегралом от функции y=f(x) и обозначают .

Ниже приведена таблица 4.2 основных неопределенных интегралов.

Таблица 4.2