Лекция 6 Линии на плоскости. Уравнения прямых

3.2.1 Линии на плоскости. Уравнение линии.

3.2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей через точку В (0, b).

3.2.3 Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

3.2.4 Уравнение прямой, проходящей через две точки.

3.2.5 Уравнение прямой в отрезках.

3.2.6 Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

3.2.7 Пересечение 2-х прямых.

3.2.1 Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Пусть мы имеем на плоскости некоторую линию (кривую). Координаты точки, лежащей на данной линии, не могут быть произвольными, они должны быть определенным образом связаны. Такая связь аналитически записывается в виде некоторого уравнения.

Определение. Уравнением линии на плоскости Оху называется уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной линии.

В общем виде уравнение записывается так: F = (x,y) или y = f(x)

Пример - Составить уравнение множества точек плоскости, равноудаленных от точек А(- 4; 2) и В (- 2; - 6)

Пусть М (х; у) – произвольная точка искомой линии, тогда АМ = МВ.

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

АМ =

ВМ = , откуда = .

Возведем обе части уравнения в квадрат, после упрощения получим

4х – 16у – 20 = 0, откуда у = .

Любую линию можно выразить уравнением, но не любое уравнение определяет на плоскости некоторую линию.

Уравнение х² + у² = 0 – определяет точку (0;0), а уравнение х² + у² + 7 = 0 – не определяет никакого множества точек, т.к. левая часть уравнения принимает только положительные значения.

3.2.2 Рассмотрим систему координат и прямую l в этойсистеме.

Пусть ℓ ∩ Оу = В (0; b), прямая ℓ образует с осью Ох угол α. (0 < α < 90°) М ℓ; х и у – координаты М(х; у), N (x; b) ∆ MBN – прямоугольный.

tg α = .

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох равен угловому коэффициенту прямой

к = tg α к = ; у – b = кх; у = кх + b (1)

Частные случаи.

Первый. Если b = 0, у = кх – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Если к > 0, то tg α > 0 α – острый.

Если к < 0, то tg α < 0 α – тупой.

В частности, если α = 45°, то у = х – уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Если α = 135°, то у = - х - уравнение биссектрисы II и IV координатных углов.

Второй. Если α = 0, то tg α = 0, получим уравнение прямой, параллельной оси Ох у = b.

В частности, у = 0 – ось Ох.

Третий. Если α = 90°, получим прямую параллельную оси Оу.

3.2.3 Пусть прямая проходит через точку М₁ (х₁; у₁) и образует с осью Ох угол α ≠ 90°. Составим уравнение этой прямой. Запишем уравнение прямой

у = кх + b (1)

Т.к. точка М₁ (х₁; у₁) принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению. Получим у₁ = кх₁ + b. Выполним вычитание:

у = кх + b

у₁ = кх₁ + b

у – у₁ = к(х – х₁)

Получим уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

у – у₁ = к(х – х₁), (2)

где х₁ и у₁ – координаты точки М₁, к = tg α, х, у - координаты произвольной точки.

Если к – произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку М₁ (х₁; у₁), кроме прямой параллельной прямой оси Оу.

Пример - Составить уравнение прямой проходящей через точку А (3; - 2) под углом 135°.

Найти уравнение пучка прямых.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох т.е. к = tg 135°. Подставим в уравнение (2) координаты точки А, получим

у – (-2) = -1(х – 3) у = - х + 1.

Уравнение пучка имеет вид:

у + 2 = к (х – 3).

3.2.4 Пусть даны две точки М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂)

Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₁.

у – у₁ = к(х – х₁),

т.к. точка М₂, лежит на этой прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению

у₂ – у₁ = к(х₂ – х₁) к = ;

у – у₁ = (х – х₁);

Разделим обе части уравнения на у₂ – у₁ ≠ 0, получим

- (3)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пример - Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и В (3; - 2).

Воспользовавшись уравнением (3) получим

, откуда у = .

3.2.5 Пусть прямая ℓ отсекает на осях координат отрезки а и b. Прямая ℓ проходит через две точки А(а; 0) и В (0; b). Подставим их координаты в уравнений прямой, проходящей через две точки.

, получим

- ау = bx – ax, ;

(4)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Пример - Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -1), если эта прямая отсекает от положительной полуоси Оу отрезок в два раза больший чем на положительной полуоси Ох, запишем уравнения прямой в отрезках .

Т. к. прямая проходит через заданную точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставим координаты точки А в уравнение прямой в отрезках.

откуда а = 1,5, следовательно .

3.2.6 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.