 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Умножение вектора на число
|
|
Произведением ненулевого вектора 
на число α называется такой вектор 
, длина которого равна 
, причем, векторы и сонаправлены при 
и противоположно направлены при α < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Из определения следует, что для любого числа αи любого вектора , векторы и α · коллинеарны.
3.1.3 Действия над векторами подчиняются следующим законам:
1) переместительный закон сложения:
+ = + ;
2) сочетательный закон сложения:
( + ) + 
= + ( + );
3 ) для любого вектора справедливо равенство:
+ 
=
+ (- ) = 0;
4) сочетательный закон умножения:
(α · β) · = α · (β · )
5) распределительные законы умножения:
α · ( + ) = α + α ;
(α+ β) · = α + β .
3.1.4 Рассмотрим два ненулевых вектора и . Отложим от какой-нибудь точки О векторы 
= и 
= . Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Этот угол и называют углом между векторами.
Если векторы и сонаправлены, то считают, что угол между ними равен нулю.
Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными.
3.1.5 Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки, они будут лежать в одной плоскости.
Признак компланарности трех векторов.
Если вектор 
можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде
= х + у , где х и у некоторые числа,
то векторы , , компланарны.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты определяются единственным образом.
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве.
Векторы 
, 
, 
- единичные векторы оси абсцисс, оси ординат, оси аппликат.
Эти векторы называются координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны, поэтому любой вектор , можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
= х + у + z ,
причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
Коэффициенты х, у, z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат и обозначаются следующим образом: { х, у, z }
Рассмотрим вектор 
.
Пусть точка А имеет координаты (х1, у1, z1), а точка В – координаты (х2, у2, z2). Тогда вектор имеет координаты { х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1 }.
Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам данных векторов находить координаты суммы, разности и произведения вектора на число.
Правило1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если { х1, у1, z1 } и { х2, у2, z2 } – данные векторы, то сумма векторов + имеет координаты { х1 + х2, у1 + у2, z1 + z2 }.
Правило 2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Если { х1, у1, z1 } и { х2, у2, z2 } – данные векторы, то вектор - имеет координаты { х1 -х2, у1 - у2, z1 - z2 }.
Правило 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Если { х1, у1, z1 } - данный вектор и α – данное число, то вектор α имеет координаты { α х, α у, α z }.
3.1.6 Основные формулы.
3.1.6.1 Координаты середины отрезка
Пусть точка А имеет координаты (х1, у1, z1), а точка В – координаты (х2, у2, z2).
Если точка М является серединой отрезка АВ, то ее координаты (х, у, z) можно выразить через координаты его концов, так:
х = 
, у = 
, z = 
.
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
3.1.6.2 Вычисление длины вектора.
Пусть известны координаты вектора { х, у, z }, тогда его длина вычисляется по формуле:
.
3.1.6.3 Расстояние между двумя точками.
Рассмотрим две произвольные точки М1 (х1, у1, z1) и М2 (х2, у2, z2).
Расстояние между точками М1 и М2 вычисляется по формуле:
d = 
.
3.1.6.4 Скалярное произведение двух векторов
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
· = 
.
Если известны координаты двух векторов, то скалярное произведение этих двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.
Скалярное произведение векторов { х1, у1, z1 } и { х2, у2, z2 } выражается формулой:
· = х1х2 + у1у2 + z1z2.
Косинус угла α между ненулевыми векторами { х1, у1, z1 } и { х2, у2, z2 } вычисляется по формуле:
cos α = 
.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 365 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
