![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Произведением ненулевого вектора на число α называется такой вектор
, длина которого равна
, причем, векторы
и
сонаправлены при
и противоположно направлены при α < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Из определения следует, что для любого числа αи любого вектора
, векторы
и α ·
коллинеарны.
3.1.3 Действия над векторами подчиняются следующим законам:
1) переместительный закон сложения:
+
=
+
;
2) сочетательный закон сложения:
( +
) +
=
+ (
+
);
3 ) для любого вектора справедливо равенство:
+
=
+ (-
) = 0;
4) сочетательный закон умножения:
(α · β) · = α · (β ·
)
5) распределительные законы умножения:
α · ( +
) = α
+ α
;
(α+ β) · = α
+ β
.
3.1.4 Рассмотрим два ненулевых вектора и
. Отложим от какой-нибудь точки О векторы
=
и
=
. Если векторы
и
не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Этот угол и называют углом между векторами.
Если векторы и
сонаправлены, то считают, что угол между ними равен нулю.
Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными.
3.1.5 Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки, они будут лежать в одной плоскости.
Признак компланарности трех векторов.
Если вектор можно разложить по векторам
и
, т.е. представить в виде
= х
+ у
, где х и у некоторые числа,
то векторы ,
,
компланарны.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты определяются единственным образом.
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве.
Векторы ,
,
- единичные векторы оси абсцисс, оси ординат, оси аппликат.
Эти векторы называются координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны, поэтому любой вектор , можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
= х
+ у
+ z
,
причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
Коэффициенты х, у, z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора
в данной системе координат и обозначаются следующим образом:
{ х, у, z }
Рассмотрим вектор .
Пусть точка А имеет координаты (х1, у1, z1), а точка В – координаты (х2, у2, z2). Тогда вектор имеет координаты { х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1 }.
Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам данных векторов находить координаты суммы, разности и произведения вектора на число.
Правило1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если { х1, у1, z1 } и
{ х2, у2, z2 } – данные векторы, то сумма векторов
+
имеет координаты { х1 + х2, у1 + у2, z1 + z2 }.
Правило 2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Если { х1, у1, z1 } и
{ х2, у2, z2 } – данные векторы, то вектор
-
имеет координаты { х1 -х2, у1 - у2, z1 - z2 }.
Правило 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Если { х1, у1, z1 } - данный вектор и α – данное число, то вектор α
имеет координаты { α х, α у, α z }.
3.1.6 Основные формулы.
3.1.6.1 Координаты середины отрезка
Пусть точка А имеет координаты (х1, у1, z1), а точка В – координаты (х2, у2, z2).
Если точка М является серединой отрезка АВ, то ее координаты (х, у, z) можно выразить через координаты его концов, так:
х = , у =
, z =
.
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
3.1.6.2 Вычисление длины вектора.
Пусть известны координаты вектора { х, у, z }, тогда его длина вычисляется по формуле:
.
3.1.6.3 Расстояние между двумя точками.
Рассмотрим две произвольные точки М1 (х1, у1, z1) и М2 (х2, у2, z2).
Расстояние между точками М1 и М2 вычисляется по формуле:
d = .
3.1.6.4 Скалярное произведение двух векторов
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
·
=
.
Если известны координаты двух векторов, то скалярное произведение этих двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.
Скалярное произведение векторов { х1, у1, z1 } и
{ х2, у2, z2 } выражается формулой:
·
= х1х2 + у1у2 + z1z2.
Косинус угла α между ненулевыми векторами { х1, у1, z1 } и
{ х2, у2, z2 } вычисляется по формуле:
cos α = .
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 376 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!