Лекция 5 Векторная алгебра. Метод координат

3.1.1 Понятие вектора.

3.1.2 Линейные операции над векторами.

3.1.3 Основные свойства действий над векторами.

3.1.4 Скалярное произведение векторов.

3.1.5 Координаты вектора.

3.1.6 Простейшие задачи в координатах.

3.1.1 При изучении количественных и пространственных закономерностей окружающего нас мира важное значение приобретают скалярные и векторные величины.

Скалярная величина характеризуется своим числовым значением. Такими величинами являются, например, длина отрезка, объем тела, масса, температура.

Векторная величина характеризуется числовым значением и направлением. Такими величинами являются, например, скорость, ускорение, сила, напряженность магнитного поля.

В векторной алгебре под скаляром понимают действительное число, а под вектором – направленный отрезок.

Итак, вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом. Направление вектора отмечается стрелкой.

Обозначение векторов: ; ; или ; ; .

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым. Нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления.

Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина обозначается так:

Длина нулевого вектора считается равной нулю: = 0

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Два вектора называются сонаправленными, если они одинаково направлены, и противоположно направленными, если их направления противоположны.

Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы и противоположно направлены.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны

, если и .

Любой вектор можно считать равным самому себе: = .

Если = и = , то = , т.е. равенство векторов обладает свойством транзитивности.

Построение вектора , равного вектору называется откладыванием вектора от точки М.

От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному и притом только один.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены.

3.1.2 К линейным операциям над векторами относятся:

1) сложение;

2) вычитание;

3) умножение вектора на число.