Свойства определителей

Первое свойство. Если в определителе поменять строки и столбцы местами, не меняя нумерации, т.е. 1 строку на 1 столбце,

2 строку на 2 столбец

3 строку на 3 столбец,

то определитель не изменит своего значения.

Δ₃ = =

Вывод: Строки и столбцы в определителе равнозначны, следовательно, всякое свойство, сформулированное для столбцов, справедливо и для строк.

Второе свойство. Если в определителе поменять местами два столбца или две строки, то определитель изменит свое значение на противоположное.

Δ₃ = = -

Третье свойство. Если в определителе элементы 2-х столбцов (строк) равны между собой, то определитель равен 0.

Четвертое свойство. Если в определителе все элементы некоторого столбца имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Δ₃ = = λ ·

Пятое свойство. Если в определителе все элементы некоторого столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Шестое свойство. Если элементы 2-х столбцов пропорциональны между собой, то определитель равен нулю.

Δ₃ = = 0, если, например, = λ

Седьмое свойство. Если элементы некоторого столбца состоят из суммы 2-х слагаемых, тогда этот определитель равен сумме 2-х определителей.

Δ₃ = = +

Восьмое свойство. Если элементы некоторого столбца умножить на одно и то же число и прибавить к соответствующим элементам другого столбца, то значение определителя не изменится.

Δ₃ = =

Доказательство свойств проводится с использованием определения и уже доказанных свойств.

2.2.3 Система n - линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Решением системы называется такая совокупность чисел х₁ = r₁

x₂ = r₂

………

x_n = r_n,

при подстановке которых в систему, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Примеры

1) (10; 0) – совместная и определенная система;

2) - несовместная;

3) - совместная и неопределенная.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Иногда полагают х₁ = х

x₂ = y, тогда система имеет вид

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Пусть требуется решить систему 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными:

1) + 2) +

(a₁₁ · a₂₂ – a₂₁ · a₁₂) x = b₁ · a₂₂ + b₂ · (- a₁₂) (a₂₂ · a₁₁ – a₁₂· a₂₁) y = b₂ ·a₁₁ –b₁ a₂₁

x = y =

Δ = - главный определитель системы.

Δ х = ; Δ у = - вспомогательные определители системы.

При введенных обозначениях система примет вид

1) Если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение ; эти формулы называются формулами Крамера.

2) Если Δ = 0, то

а) если хотя бы один из определителей Δ х или Δ у ≠ 0, то система решений не имеет;

б) если Δ х = Δ у =0, то система имеет бесчисленное множество решений, т.е. неопределенная.

Пример 1 - Решить систему уравнений

; Δ = = 6 + 1 = 7; Δ х = 21; Δ у = 7;

Ответ: (3; 1).

Аналогичные формулы используются и при решении системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Пример 2 - Решите систему уравнений по формулам Крамера

.

Найдем главный и вспомогательные определители системы.

Главный определитель

Δ = = 5 ≠ 0 система имеет единственное решение.

Вспомогательные определители

Δ₁ = = 20; Δ₂ = = 10; Δ₃ = = 5

По формулам Крамера получаем

х ₁ = ; х ₂ = х ₃ =

Ответ: (4; 2; 1)

В конце решения системы рекомендуется сделать проверку, подставить найденные значения в уравнения системы и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Существенным недостатком решения систем по формулам Крамера является его большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей.

2.2.4 Решение систем 3-х - линейных уравнений с 3неизвестными методом Гаусса.

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении переменных.

На I этапе нужно выбрать ведущее уравнение и ведущую переменную, которую мы исключим из остальных уравнений. В результате получим систему уравнений, в которой одно уравнение содержит 3 переменных, а два других уравнения содержат две одинаковые переменные.

На II этапе из двух уравнений с двумя переменными исключаем еще одну переменную. Получим систему, в которой одно уравнение содержит 3 переменных, другое – 2 переменных, третье – 1 переменную. Эту переменную легко найти. Затем ее подставляем во второе уравнение, находим вторую переменную. Затем их подставляем в первое уравнение, находим третью переменную.

Таким образом, метод Гаусса является способом решения системы линейных уравнений путем последовательного исключения переменных и сведения ее к треугольной системе уравнений.

Рассмотрим пример.

Пример - Решить систему

На I этапе умножаем первое уравнение на (-4) и складываем его со вторым, затем первое уравнение умножаем на (-2) и складываем его с третьим, получим:

На II этапе третье уравнение умножаем на 6 и складываем его со вторым, получаем:

; ; ;

Ответ: (2; 1; -1)

Контрольные вопросы

1 Что называется системой n - линейных уравнений с n неизвестными?

2 Что называется решением системы n - линейных уравнений с n неизвестными?

3 Какая система называется совместной, определенной, неопределенной?

4 Какие системы уравнений называются равносильными?

5 Что называется определителем второго порядка?

6 По какому правилу вычисляется определитель второго порядка?

7 Что называется определителем третьего порядка?

8 Сформулируйте правило, по которому вычисляется определитель третьего порядка.

9 Запишите формулы Крамера для решения систем 2-х-линейных уравнений с двумя неизвестными 3-х-линейных уравнений с тремя неизвестными.

10 В чем заключается суть метода Гаусса?