Лекция 4 Матрицы

2.3.1 Определение матрицы. Виды матриц.

2.3.2 Действия над матрицами.

2.3.1 Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m×n элементов, расположенных в m – строк и n – столбцов.

А_{m n} = . Если m ≠ n, то матрица называется прямоугольной.

А_{n n} = . Если m = n, то матрица называется квадратной.

А_mn = { а_ij }, где i = 1,2,3,… m, j = 1,2,3… n.

A_1n = (a₁₁, a₁₂…a_1n) – строчная матрица

A_{m 1} = - столбцовая матрица.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей

А = .

Воображаемая прямая, которая проходит в квадратной матрице через элементы с одинаковыми индексами (а₁₁, а₂₂, …а_nn), называется главной диагональю матрицы.

Если в квадратной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной.

А = .

Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы по главной диагонали равны 1.

А₃ = = Е, единичная матрица третьего порядка.

Две матрицы называются равными, если у них:

1) одинаковое число строк;

2) одинаковое число столбцов;

3) все соответствующие элементы 2-х матриц равны.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем квадратной матрицы (детерминант матрицы)

det A = .

Квадратная матрица называется неособенной, если её детерминант отличен от нуля (det А ≠ 0).

Квадратная матрица называется особенной, если её детерминант равен нулю (det А = 0).

Пример - Определить вид матрицы А =

Найдем det A = Δ₃

Δ₃ = = 0 – 6 – 0 + 0 +6 – 12 = - 12 ≠ 0, матрица неособенная.

Матрица А' называется транспонированной по отношению к А, если в матрице А поменять местами строки и столбцы с сохранением порядка.

А = А' =

Если А имеет размер m×n, то А' имеет размер n×m.

A_3×3 = ; A'_3×3 = ; A_4×3 = ; A'_3×4 = .

Свойства транспонирования.

1. (А')' = А;

2. (λА)' = λА';

3. (А + В)' = А' + В'.

2.3.2 Действия над матрицами.