Свойства неравенств

Первое свойство. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Второе свойство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Линейные неравенства решаются при помощи тех же операций, что и линейные уравнения, при этом учитывают сформулированные выше свойства.

Пример - Решить неравенство 4(3 х – 11) > 5(х + 2) – 5.

Решение. Раскрыв скобки, получим 12 х – 44 > 5 х + 10 – 5. Отсюда, 12 х – 5 х > 10 – 5 + 44, или 7 х > 49; поэтому х > 7.

Таким образом, решениями данного неравенства являются все действительные числа промежутка (7, ∞).

2.1.5 При решении системы линейных неравенств с одной переменной находят решения каждого неравенства в отдельности, и тогда решениями системы будет пересечение множеств решений каждого неравенства.

Пример - Решить систему неравенств

Решение. Найдем множество решений первого неравенства:

2(х-3) > 3 – х 2х + х >3 + 6 х > 3.

Таким образом, для первого неравенства системы х (3, ∞).

Найдем теперь множество решений второго неравенства системы:

7х – 5 < 4х + 10 7х – 4х < 5 + 10 3х < 15 х < 5.

Следовательно, для второго неравенства х (-∞, 5).

Решением системы является пересечение двух множеств (3; ∞) ∩ (-∞; 3) = = (3; 5).

Ответ: (3; 5)

Пример - Решите систему неравенств

Решение. Имеем:

5х + 4 < 2 (х – 1) 5х – 2х < - 4 – 2 3х < - 6 х < - 2.

Следовательно, для первого уравнения системы х (-∞, - 2).

Далее,

2 – х < 3х + 2 - х – 3х < 2 – 2 - 4х < 0 х > 0.

Следовательно, для второго уравнения системы х (0, ∞).

Так как (-∞, - 2) (0, ∞) = Ø, то данная система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Контрольные вопросы

1 Какое уравнение называется линейным? Приведите пример.

2 Какое неравенство называется линейным? Приведите пример.

3 Что называется решением линейного уравнения и линейного неравенства?

4 Какие уравнения и системы уравнений называются равносильными?

5 Какие методы решения систем двух линейных уравнений вы знаете? Приведите примеры.

6 Как решить систему линейных неравенств?