Периодические дроби

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например, .

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью, а совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Периодические дроби бывают чистыми и смешанными. Чистой периодической дробью называется дробь, у которой период начинается сразу же после запятой, например 3,171717…. Смешанной называется дробь, у которой между запятой и первым периодом есть одна или несколько неповторяющихся цифр, например, 0,231919….

Периодические дроби сокращенно записываются следующим образом: 3,171717… = - 3,(17); 0,231919… = - 0,23(19), т.е. период дроби заключается в скобки. Например, число 3,(17) читается: три целых и 17 в периоде.

Бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной дроби, должна быть периодической.

Каждое рациональное число можно представить в виде конечной периодической десятичной дроби

Например, рациональное число делением 7 на 11 можно представить периодической десятичной дробью 0,(63).

Конечные десятичные дроби можно записывать в виде бесконечных десятичных дробей:

0,27 = 0,27000… = 0,27(0).

Целые числа также можно записывать в виде бесконечных десятичных дробей: 17 = 17,000… = 17,(0).

Можно утверждать, что каждое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Верно и обратное утверждение.

Любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

1.1.4 Иррациональные числа

Потребности логического развития математики и ее практических приложений показали недостаточность множества рациональных чисел для решения многих задач.

Покажем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Задача сводится к решению уравнения х² = 2. Очевидно, что не существует такого целого числа, квадрат которого равен 2, ибо 1² < 2, а 2² > 2.

Допустим, что такое число найдется среди дробных чисел, поэтому будем считать, что дробь х = несократима, т.е. число m и n взаимно простые. Предположим, что имеет место равенство = 2, тогда m ² = 2 n ². Отсюда следует, что натуральное число m ² – четное, так как 2 n ² - число четное. Если m ² – четное, то и m – четное, т.е. m = 2 р, где р – натуральное число. Имеем: (2 р)² = 2 n ² или 4 р ² = 2 n ² , 2 р ² = n ², т.е. число n ² также четное, отсюда следует, что и n – четное.

Приходим к выводу, что числа m и n четные, т.е. не являются взаимно простыми. Это противоречит первоначальному предположению, что m и n – взаимно простые. Следовательно, не существует такого рационального числа, квадрат которого равен 2, а значит бесконечная непериодическая десятинная дробь

Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь. Иррациональные числа образуют множество I всех бесконечных непериодических десятичных дробей.

1.1.5 Действительные числа.

Объединение множества Q всех рациональных чисел и множества I всех иррациональных чисел называется множеством R действительных или вещественных чисел, т.е. Q R, I R.

Во множестве действительных чисел действуют законы аналогичные законам действий над рациональным числами Q. Множество неотрицательных действительных чисел обозначают R₊, а множество отрицательных действительных чисел обозначается R_-.

Множество R всех действительных чисел называется числовой прямой, а сами действительные числа – точками числовой прямой.

Наиболее часто встречаются следующие числовые множества: замкнутый промежуток (или отрезок) с началом а и концом b

[ а; b ] или а х b;

открытый промежуток (или интервал) с началом а и концом b (точки а и b не включаются):

(а; b) или а < х < b;

полуоткрытые промежутки с началом а и концом b

(а; b ] или а < х b и

[ а; b) или а х < b,

число b – а называется длиной промежутка с концами а и b;

бесконечные промежутки (лучи, полупрямые)

(а, + ∞) или а < х < + ∞,

(- ∞, а) или - ∞ < х < а,

[ а, + ∞) или а х < + ∞,

(- ∞, а ] или - ∞ < х а;

числовая прямая

(- ∞, + ∞) = R или - ∞ < х < + ∞.

Контрольные вопросы

1 Приведите примеры неопределяемых понятий математики.

2 Какие множества называются конечными, бесконечными, равными?

3 Что называется порядком множеств?

4 Что называется подмножеством множества?

5 Что называется пересечением множеств?

6 Что называется объединением множеств?

7 Что называется разностью двух множеств?

8 Какие числа называются рациональными. Перечислите основные законы действий над рациональными числами?

9 Какие числа называются иррациональными?

10 Какие числа называются действительными?

11 Что называется числовой прямой, числовым отрезком, числовым интервалом?