Лекция 1 Основные теоретико-множественные понятия математики. Множество действительных чисел

1.1.1 Множество. Основные понятия

1.1.2 Операции над множествами

1.1.3 Рациональные числа. Основные законы действий над рациональными числами

1.1.4 Иррациональные числа

1.1.5 Действительные числа

1.1.1 Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.

Под множеством в математике понимают совокупность или собрание некоторых объектов. Сами объекты, входящие в данное множество, называются элементами этого множества. Тот факт, что элемент а входит в множество А, записывается следующим образом: а А. Если элемент b не входит в множество А, то это записывается так: b A.

Пример 1 - Если N – множество натуральных чисел, то 2 N, 10 N,

но – 5 N и 1,7 N.

Пример 2 - Пусть А – множество всех стран Европы, тогда Англия А, в то время как Индия А.

Множество может содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. В первом случае множество называется конечным, а число его элементов – порядком этого множества, во втором случае множество называется бесконечным. Так, например, множество N натуральных чисел бесконечно, а множество всех букв греческого алфавита конечно, а порядок его 24, так как в греческом алфавите 24 буквы.

Для обозначения множества часто используют фигурные скобки. Так запись

А = {a, b, c, d} означает, что множество А содержит четыре элемента: a,b,c и d.

В математике рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Это множество называется пустым и обозначается символом Ø.

Например, пустым множеством является множество всех целых решений уравнения х² + х + 1 = 0.

Два множества, содержащие одни и те же элементы, называются равными. Для обозначения равенства множеств используют знак =. Таким образом, из записи А=В следует, что В – это то же множество, что и А, но записанное при помощи другого символа.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Этот факт записывается так: А В (читается: множество В содержит множество А, или множество А содержится в множестве В). Знак называется знаком включения. Например, множество четных чисел есть подмножество множества целых чисел.

Если А не содержится в В, то пишут: А В.

Пустое множество Ø считается подмножеством любого множества.

Любое множество считается подмножеством самого себя: А А.

1.1.2 Над множествами можно производить различные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В.

Пересечение множеств обозначается символом ∩: А ∩ В.

Например, если А = {a, b, c, d} и В = {a, b, k, l, m}, то А ∩ В ={a, b}.

Иногда пересечение множеств называется произведением множеств.

Равенство А ∩ В = Ø означает, что множества А и В не содержат одинаковых элементов.

Если А В, то, очевидно, А ∩ В = А. Очевидно, что А ∩ А = А.

Из определения пересечения двух множеств следует, что А ∩ В = В ∩ А.

Можно образовать пересечение любого конечного числа множеств.

Например, если А = {a, b, c, d}, В = {a, с, m, n}, C = {b, c, k, l}, то А ∩ В ∩ C = { c } (множество А ∩ В ∩ C содержит один элемент c).

Определение. Объединением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А и В.

Объединение множеств обозначается символом : А В. Например, если А = {a, b, c}, В = {b, с, d, e, f}, то А В = {a, b, c, d, e, f}.

Иногда объединение множеств называется суммой множеств.

Из определения объединения следует, что А А = А.

Соотношение А В = Ø равносильно двум соотношениям: А = Ø и В = Ø.

Если А В = А, то это означает, что В А; если же А В = В, то А В.

Из определения объединения двух множеств следует, что А В = В А.

Операцию объединения можно распространить и на число множеств, больше двух.

Например, если А = {a, b, c}, В = {b, с, d}, C = {a, m, n}, то А В С = {a, b, c, d, m, n}.

Определение. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначается символом \: А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d} и В = {а, с, d, e, f}, то А \ В = { b }.

Из определения следует, что А \ А = Ø и если А \ В = Ø, то это означает, что А В.

В частом случае, если множество В есть подмножество множества А, то разность А \ В называется дополнением множества В до множества А и обозначается символом . Например, если А = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 2}, то {3, 4}.

Определение. Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой.

Для записи упорядоченной пары используются круглые скобки. Так, запись (а; b) означает двухэлементное множество, в котором элемент а считается первым, а элемент b – вторым.

Из определения упорядоченной пары следует, что пары (а; b) и (b; a) являются различными, в то время как множества { a, b }и { b, a }суть одно и то же множество.

Две пары (а; b) и (c; d) считаются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

По аналогии с упорядоченной парой можно определить и понятие упорядоченной тройки, упорядоченной четверки и т.д.

1.1.3 Одним из основных понятий математики является понятие числа. Исторически первыми возникли в практике и были введены в науку натуральные числа.

Натуральные числа используют в связи со счетом количества отдельных предметов, например, при подсчете количества книг на полке, количества деталей, изготовленных за смену и т.д.

Натуральные числа образуют бесконечное множество, которое принято обозначать через N:

N = {1, 2, 3, 4, …}.

Для практических целей натуральных чисел оказалось недостаточно, в частности, при делении чисел, при измерении длин отрезков и различных физических величин возникла необходимость расширения множества натуральных чисел введением долей единиц и количества этих долей.

Например, если некоторая величина разделена на n частей и взято m таких частей, то вводится так называемое дробное число , где m и n - натуральные числа.

Практическая потребность привела к введению отрицательных чисел, чтобы иметь возможность измерять величины, способные изменяться в противоположных направлениях от выбранной точки отсчета. Например, при измерении сил, действующих на пружину, растягивающие пружину силы можно считать положительными, а сжимающие пружину – отрицательными.

Таким образом, каждому числу, натуральному или дробному, сопоставляется отрицательное число. Если число (положительное) обозначать буквой а или (+ а), соответствующее ему противоположное (отрицательное) число записывается как минус а или(- а).

К этим числам присоединяется число 0, соответствующее началу отсчета как положительных, так и отрицательных чисел.

Натуральные числа, им противоположные (отрицательные) и число 0 образуют множество Z целых чисел.

Целые числа могут быть записаны в виде дробей, например 4 = , -5 = .

Множество, состоящее из положительных и отрицательных целых, и дробных чисел и числа 0, называется множеством рациональных чисел. Обозначим его через Q. Таким образом, всякое рациональное число может быть представлено в виде дроби , где m – любое целое число, а n - натуральное число.

Следовательно, N содержится в Z, а Z в Q. Символически это записывается следующим образом: N Z Q. Знак обозначает включение или принадлежность одного множества другому.

Другими словами, Z есть расширенное множество N, Q – расширенное множество Z, и, таким образом, Q является расширенным множеством N.

Основные законы действий над рациональными числами. Основными действиями над числами являются сложение и умножение, а основным отношением между ними являются сравнение чисел, т.е. установление того, какое из двух чисел больше (меньше), если такое сравнение возможно.

Переместительный или коммутативный закон сложения:

a + b = b + a.

Сочетательный или ассоциативный закон сложения:

(a + b) + c = a + (b + c).

Сложение рационального числа с нулем:

a + 0 = a

Сложение рационального числа с соответствующим ему числом противоположного знака:

a + (- a) = 0

Переместительный или коммутативный закон умножения:

a · b = b · a

Сочетательный или ассоциативный закон умножения:

(a · b) · c = a · (b · c)

Умножение рационального числа на единицу:

a ·1 = a.

Умножение рационального числа на ноль:

а∙0 = 0.

Умножение не равного нулю рационального числа на число, равное отношению единицы к этому числу (такие числа a и называются взаимно обратными):

a · = 1 для а 0

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

a · (b + c) = a · b + a · с

Введем знак . Запись А В обозначает, что из А следует В.

Свойство транзитивности:

a < b, b < c a < c.