Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями

Рассмотрим две последовательности: и : - бесконечно малая, а - бесконечно большая, но , причем .

►Теорема 11. Если – бесконечно малая и , то – бесконечно большая, и наоборот: если – бесконечно большая, то – бесконечно малая.

Доказательство: пусть – бесконечно малая и , это значит, что .

Рассмотрим неравенство , используя свойства неравенств с положительными членами, получим . Пусть теперь , и является сколь угодно большим, если – сколь угодно мало и положительно. Тогда имеем: , то есть – бесконечно большая.

Аналогично, если – бесконечно большая, то ; рассмотрим неравенство , отсюда следует, что , пусть , и является сколь угодно малым, если – сколь угодно велико; итак, ; значит, – бесконечно малая.

Пример 43. Последовательности , , , (см. Пример 41) - являются бесконечно малыми.