Определение и примеры

Рассмотрим последовательность ; о ее поведении часто говорят «неограниченно возрастает», но точнее ее поведение следует охарактеризовать словами «бесконечно большая», ведь какое бы сколь угодно большое число мы не взяли, не только найдется член последовательности, превысивший это число, но и все последующие за ним превысят это число: пусть , тогда начиная с для всех членов последовательности , то есть для всех ; а если , то - номер того члена, начиная с которого, все больше .

Определение 35. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа найдется такой номер зависящий от , что для всех членов последовательности, начиная с этого номера, выполняется неравенство .

Используя кванторы, запишем это определение так: .

Пример 41. Последовательности , , , являются бесконечно большими.

Действительно, ;

.

Для последовательности можно сделать предварительные оценки: для всех натуральных , а для всех натуральных . Поэтому и .