Свойства бесконечно малых последовательностей

►Теорема 8. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

Доказательство: пусть и , это означает, что и . Выберем таким образом, что , тогда , значит, , то есть – бесконечно малая последовательность.

Обобщение теоремы: сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство проведите самостоятельно, используя метод математической индукции.

►Теорема 9. Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: пусть – ограниченная последовательность, тогда ; а - бесконечно малая, тогда . Рассмотрим , начиная с некоторого номера, итак, , то есть – бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

Пример 39. Последовательности ; ; ; – бесконечно малые.

Действительно, , где ; ; , но – ограниченная последовательность , а и бесконечно малые, значит, – бесконечно малая. Аналогично докажите, что , и – бесконечно малые.