Применение бесконечно малых последовательностей к доказательству теорем о пределах

►Теорема 10. Для того, чтобы последовательность имела своим пределом число , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение: , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: пусть , значит, (*), обозначим, , тогда из (*) следует, что , начиная с некоторого номера, значит, – бесконечно малая; таким образом, , где – бесконечно малая и необходимость доказана. Достаточность этого утверждения доказывается аналогично с использованием (*) и определения бесконечно малой.

Пример 40. Последовательность представима в виде , значит, , так как бесконечно малая.

Рассмотрим доказательство ►Теорема 4(1) и ►Теорема 4(2) с помощью бесконечно малых.

Пусть и , тогда по ►Теорема 10 и , где и - бесконечно малые. Рассмотрим , но - бесконечно малая (по ►Теорема 8), значит, по ►Теорема 10 ; аналогично , но и - бесконечно малые (►Теорема 9), а также - бесконечно малая (следствие из ►Теорема 9), поэтому - бесконечно малая, таким образом, , где - бесконечно малая и (►Теорема 10).