Связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями

Напомним определение неограниченной последовательности (Определение 29).

Последовательность называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого числа найдется такой член последовательности для которого выполняется неравенство или .

Пример 42. Рассмотрим последовательность : Легко понять, что она является неограниченной. Действительно, какое бы большое число мы ни взяли на позиции будет стоять число, большее, чем .

Поставим вопрос: является ли неограниченная последовательность бесконечно большой? Обратимся опять к Пример 39. Мы видим, что на позиции стоит число, большее, чем , на позиции находится , и неравенство – неверно; поэтому вывод таков: если последовательность неограниченна, то она не обязана быть бесконечно большой.

Но если бесконечность является бесконечно большой, то она, безусловно, не ограничена (см. Пример 38).