Свойства равномерно сходящихся рядов

Если функциональные ряды и равномерно сходятся на множестве Х, а l и m – произвольные числа, то ряд

также равномерно сходится на Х. n

Если функциональный ряд , составленный из непрерывных на множестве Х функций f_n(x), n = 1, 2, …, равномерно сходится на Х, то его сумма непрерывна на Х, т. е. для любой точки х₀ Î Х возможен почленный переход к пределу:

n

Если члены функционального ряда интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], а сам ряд равномерно сходится на [a, b], то его сумма также интегрируема по Риману на [a, b] и для любого х Î [a, b] имеет место равенство

,

причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится равномерно на [a, b]. Иными словами, равномерно сходящийся на [a, b] ряд можно интегрировать почленно. n

Если члены функционального ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], сам ряд сходится в некоторой точке этого отрезка, а функциональный ряд, составленный из производных f'_n(x), n = 1, 2, …, т.е. равномерно сходится на отрезке [a, b], то исходный ряд также равномерно сходится на [a, b], а его сумма непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] и

,

т.е. исходный функциональный ряд можно дифференцировать почленно. n

Таким образом, наличие свойства равномерной сходимости у рядов позволяет перенести на эти ряды некоторые правила действия с конечными суммами – возможность почленно интегрировать и дифференцировать.