Основные понятия и определения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является функция от одной независимой переменной

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является функция от одной независимой переменной, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Если в уравнение из всех производных входит только первая, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, если первая и вторая, то имеем уравнение второго порядка и т. д.

Задача нахождения первообразной от непрерывной функции f(x) может быть сформулирована в форме обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

y' = f(x).

Ее решением, как мы уже знаем, является неопределенный интеграл от функции f(x), т.е. семейство первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину,

,

где F(x) – некоторая фиксированная первообразная, например, интеграл Римана с переменным верхним пределом интегрирования. Это решение называют общим решением дифференциального уравнения. Принципиально то, что общее решение уравнения первого порядка зависит от одного независимого параметра – константы С, при изменении (варьировании) которой мы получаем целое семейство функций.

Естественным обобщением приведенного выше уравнения является обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

y' = f(x, y), (4.1)

где известная функция f уже зависит от двух аргументов – независимой переменной х и неизвестной функции y.

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (4.1) называется функция y = y(x), определенная на некотором интервале изменения переменной х и удовлетворяющая на этом интервале условию

y'(x) = f(x,y(x)).

Различают общее и частное решение дифференциального уравнения (4.1). Общее решение, как и в случае простейшего дифференциального уравнения, зависит от параметра С, т.е. имеет вид y(x) = j(x, С). Частное решение получается из общего решения фиксированием значения параметра С (С = С₀), т.е. оно имеет вид

Обычно значение параметра С ₀ для частного решения уравнения (4.1) определяется из так называемого начального условия, задаваемого в виде начальных значений (x₀, y₀), смысл которых состоит в выделении решения, удовлетворяющего условию

_.

Для этого надо решить алгебраическое уравнение

j(x₀, С) = y₀

относительно С, это решение и даст значение С ₀.

Нахождение решения уравнения (4.1) называют интегрированием дифференциального уравнения; частное решение называют интегральной кривой, начальные значения – начальной точкой соответствующей интегральной кривой, а общее решение – семейством интегральных кривых данного уравнения.

Аналогично определяется решение уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной

,

где известная функция f зависит от трех аргументов: независимой переменной x, неизвестной функции y и ее производной y'. Общее решение зависит в этом случае уже от двух параметров, т.е. имеет вид y(x)=j(x,C₁,C₂). Частное решение получается из общего решения фиксированием значений параметров С₁ и С₂, С₁= С₁⁽⁰⁾, С₂= С₂⁽⁰⁾, т.е. имеет вид

Значения параметров С₁⁽⁰⁾ и С₂⁽⁰⁾ определяются из начального условия (x₀,y₀,y₀'), смысл которого состоит в выделении решения, удовлетворяющего условию

Для этого надо решить систему из двух алгебраических уравнений

j(x₀,C₁,C₂)=y₀,

j_x'(x₀,C₁,C₂)=y'₀

относительно неизвестных C₁ и C₂ и определить из нее значения C₁⁽⁰⁾,C₂⁽⁰⁾.

Главной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение решений таких уравнений. При становлении теории стремились осуществить интегрирование уравнений в квадратурах, т.е. получить формулу, задающую решение y(x), через элементарные функции и интегралы от них. Особый интерес представляют общие решения уравнений;они позволяют исследовать свойства решений в наиболее полной форме. Однако уже в середине XIX века были обнаружены примеры дифференциальных уравнений, которые нельзя проинтегрировать в квадратурах. Оказалось, что решение в квадратурах удается найти лишь для небольшого числа классов уравнений; в остальных случаях приходится довольствоваться приближенными методами интегрирования.