Асимптоты графика функции

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ®¥) (рис.8).

Асимптоты графика функции y=f(x) (коротко говорят асимптоты функции) делятся на два вида:

1) вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси Оy, они имеют уравнения вида х=х₀;

2) наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси Оy; они имеют уравнения вида y=kx+b.

Ясно, что функция может иметь сколько угодно вертикальных асимптот и не более двух наклонных: правую и левую. Правая асимптота определяется при абсциссе х +¥, а левая при х –¥.

Примеры:

1. Функция y=x² не имеет асимптот.

2. Функция y=tgx имеет бесконечное множество вертикальных асимптот вида , и не имеет наклонных асимптот.

3. Функция y=1/x имеет вертикальную асимптоту x=0, для левой и правой ветвей гиперболы и левую и правую наклонную асимптоту y=0.

4. Функция y=|x| имеет левую наклонную асимптоту y= –x и правую y=x. Вертикальных асимптот у нее нет.

Теорема (о вертикальной асимптоте). Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой функции y=f (x) только в том случае, когда при х х₀ – или х х₀+ эта функция является бесконечно большой.

Геометрический смысл этой теоремы ясен.

Пример. Найти вертикальные асимптоты функции .

Очевидно, что значения х₀, определяющие вертикальные асимптоты, лежат среди точек разрыва этой функции. Таких точек две: х₁= –1, x₂= +1.

, .

Поэтому функция имеет две вертикальные асимптоты х= –1, x=+1 (рис. 23).

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и . (5.3)

Пример. Найти асимптоты гиперболы .

Эта гипербола состоит из двух графиков функций .

Рассмотрим случай положительного корня. Для правой асимптоты

= =

=

.

Следовательно, правая асимптота имеет вид

Аналогично проверьте, что левая асимптота