Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Дифференциалом –го порядка называется дифференциал от ее дифференциала –го порядка
,
вычисленный в предположении, что остается постоянной.
Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
,
,
,
… … … … … … … … … … … … … … …
.
Из последней формулы имеем еще одно обозначение для производной –го порядка.
Для дифференциалов –го порядка также справедливы следующие правила:
1) , .
2) , .
Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для .
Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения функции–экстремумами.
Функция, определенная на отрезке , имеет там только одно наибольшее и наименьшее значения, но может иметь несколько максимумов и минимумов. При этом некоторые максимумы могут быть меньше минимумов (рис.2).
Здесь и – точки максимумов, и – максимумы; и – точки минимумов; и – минимумы; – экстремальные точки, – экстремумы.
Теорема Ферма. Пусть – точка минимума, т.е. для .
Тогда для , и
.
Для и
.
Следовательно, .
Заметим, что если , то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси (так как тангенс угла наклона этой касательной равен нулю). Поэтому геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная в экстремальной точке функции (если она существует) параллельна оси (рис3).
и – точки минимума, в – касательная параллельна оси , в точке касательной нет.
Следующие три теоремы выявляют свойства функций, дифференцируемых на отрезке.
Определение. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке и имеет производную во всех точках интервала .
Для таких функций кроме теорем Больцано–Коши и Вейерштрасса справедливы еще следующие теоремы.
Теорема Ролля. Пусть функция дифференцируема на отрезке и принимает на его концах равные значения: . Тогда такая, что .
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий , в которой касательная к графику функций параллельна оси и хорде, соединяющей концы графика на отрезке (рис.4).
Пример. В интервале (–1,1) нет точек, в которых касательная к графику параллельна оси . Здесь нарушается условие теоремы Ролля: в точке функция не дифференцируема, хотя .
Теорема Коши. Пусть функция и дифференцируемы на и для . Тогда такая, что
.
Следующая теорема является прямым следствием теоремы Коши, однако, в силу ее широкого применения имеет специальное название.
Теорема Лагранжа. Пусть функция дифференцируема на . Тогда в интервале :
.
Заметим, что
равна тангенсу угла наклона хорды, соединяющей концы графика на , а равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке (рис.5).
Из равенства этих углов получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий этой теоремы , в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы графика.
, .
Следствие 1. Возьмем , , тогда при выполнении условий теоремы Лагранжа в отрезке будем иметь
, где .
Это можно записать в виде
, где .
Тогда приращение функции записывается в виде
или в общем виде .
Следствие 2. Пусть функция дифференцируема и , тогда эта функция постоянна в , т. е. .
Контрольные вопросы:
1.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
2. Инвариантность формы первого дифференциала
3. Формула приближенного вычисления значения функции
4. Правило нахождение производных высшего порядка. Примеры
5. Теоремы Ролля, и ее геометрический смысл
6. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл
Литература:
[2] Глава 4 § 4.1-4.8 стр. 151-178; [19] 3.3-3.6 стр. 191-209; [18] §10.1-10.4 стр. 265-273; [20] §10.1-10.4 стр. 184-192
Тема лекции: Раскрытие неопределенности. Исследование поведения функции и их графиков (2 часа)
Дата публикования: 2014-10-23; Прочитано: 1015 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!