Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения

Определение. Дифференциалом –го порядка называется дифференциал от ее дифференциала –го порядка

,

вычисленный в предположении, что остается постоянной.

Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:

,

,

,

… … … … … … … … … … … … … … …

.

Из последней формулы имеем еще одно обозначение для производной –го порядка.

Для дифференциалов –го порядка также справедливы следующие правила:

1) , .

2) , .

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для .

Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения функции–экстремумами.

Функция, определенная на отрезке , имеет там только одно наибольшее и наименьшее значения, но может иметь несколько максимумов и минимумов. При этом некоторые максимумы могут быть меньше минимумов (рис.2).

Здесь и – точки максимумов, и – максимумы; и – точки минимумов; и – минимумы; – экстремальные точки, – экстремумы.

Теорема Ферма. Пусть – точка минимума, т.е. для .

Тогда для , и

.

Для и

.

Следовательно, .

Заметим, что если , то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси (так как тангенс угла наклона этой касательной равен нулю). Поэтому геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная в экстремальной точке функции (если она существует) параллельна оси (рис3).

и – точки минимума, в – касательная параллельна оси , в точке касательной нет.

Следующие три теоремы выявляют свойства функций, дифференцируемых на отрезке.

Определение. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке и имеет производную во всех точках интервала .

Для таких функций кроме теорем Больцано–Коши и Вейерштрасса справедливы еще следующие теоремы.

Теорема Ролля. Пусть функция дифференцируема на отрезке и принимает на его концах равные значения: . Тогда такая, что .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий , в которой касательная к графику функций параллельна оси и хорде, соединяющей концы графика на отрезке (рис.4).

Пример. В интервале (–1,1) нет точек, в которых касательная к графику параллельна оси . Здесь нарушается условие теоремы Ролля: в точке функция не дифференцируема, хотя .

Теорема Коши. Пусть функция и дифференцируемы на и для . Тогда такая, что

.

Следующая теорема является прямым следствием теоремы Коши, однако, в силу ее широкого применения имеет специальное название.

Теорема Лагранжа. Пусть функция дифференцируема на . Тогда в интервале :

.

Заметим, что

равна тангенсу угла наклона хорды, соединяющей концы графика на , а равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке (рис.5).

Из равенства этих углов получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий этой теоремы , в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы графика.

, .

Следствие 1. Возьмем , , тогда при выполнении условий теоремы Лагранжа в отрезке будем иметь

, где .

Это можно записать в виде

, где .

Тогда приращение функции записывается в виде

или в общем виде .

Следствие 2. Пусть функция дифференцируема и , тогда эта функция постоянна в , т. е. .

Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

2. Инвариантность формы первого дифференциала

3. Формула приближенного вычисления значения функции

4. Правило нахождение производных высшего порядка. Примеры

5. Теоремы Ролля, и ее геометрический смысл

6. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл

Литература:

[2] Глава 4 § 4.1-4.8 стр. 151-178; [19] 3.3-3.6 стр. 191-209; [18] §10.1-10.4 стр. 265-273; [20] §10.1-10.4 стр. 184-192

Тема лекции: Раскрытие неопределенности. Исследование поведения функции и их графиков (2 часа)