Понятие дифференциала функции

Определение. Если приращение функции в точке можно представить в виде , где - число, а - б.м. при , то величина называется дифференциалом функции в точке (главной частью приращения).

Теорема (о дифференциале). Для того, чтобы функция имела дифференциал в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная , при этом . (т.е. ).

Из этой теоремы становится ясным, почему существование производной у функции и существование дифференциала называются одним словом- дифференцируемость.

Пример: Пусть y=ax+b, тогда , в частности . Поэтому дифференциал функции обозначают в виде , а её производную записывают как отношение дифференциалов

.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Поскольку то . Поэтому равен приращению координаты касательной, проведённой к графику функции в точке при приращении аргумента (рис.). Приращение функции |DB| складывается из дифференциала |ВС| и б.м. величины высшего порядка малости по сравнению с . Если в соотношении

,

пренебречь этой величиной, то получаем формулу для приближенного вычисления значений функции в точке , . Y

D

C

A

B

0 X

Рис 10

Пример. Вычислить приближенно .

Имеем

.

Правила вычисления дифференциала непосредственно следуют из правил вычисления производных.

Пусть функции и дифференцируемы в точке, тогда

1) , где с – число.

2) .

3) , если .

4) Если функция дифференцируема в точке x, а в соответствующей точке u, то для сложной функции ,

.

Это правило называют инвариантностью формы дифференциала. Для функции дифференциал , как в случае, когда u- независимая переменная, так и в случае, когда есть функция другой переменной x.

Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

2.Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите пример.

3. Формулы дифференцирования степеной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.

4. Формула дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.

5.Теорема о производной обратной функции.

6. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

7.Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

8. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

Литература:

[2] Глава 4 § 4.1-4.8 стр. 127-150

[19] 3.1-3.2 стр. 180-188

[18] § 9.1-9.8 стр. 235-265

[20] § 9.1-9.8 стр. 157-187

Тема лекции: Прозводные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального (2 часа)

8.1. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная называется еще первой производной функции или производной первого порядка, сама функция называется производной нулевого порядка.

Определение. Производной – го порядка функции называется производная от её производной ( -1) порядка при условии, что эти производные существуют

, = 1,2,3,…

функция f при этом называется раз дифференцируемой..

Пример. Дано .

Первая производная ,

вторая производная ,

третья производная .

Следовательно,

, .

Эта функция бесконечно дифференцируема для , т.е. она имеет производные всех порядков. Для суммы и произведения –раз дифференцируемых функций и справедливы следующие правила дифференцирования ():

1. , .

2. Формула Лейбница:

; .

Без доказательства.

Пример. Вычислить по формуле Лейбница.

.

Заметим, что и , поэтому при и последующие слагаемые также равны нулю, следовательно,

.

Пусть функция –раз дифференцируема.