Параметрически заданная функция и её производная

Функцию иногда удобно записывать в параметрическом виде

Таким образом описывается движение точки на плоскости в механике (t – время, x, y – координаты точки).

Пример. Функция, графиком которой является полуокружность радиуса имеет параметрическую запись

Если положить , то получаем всю окружность , которую нельзя задать с помощью графика одной функции.

Теорема. Пусть функция задана в параметрическом виде

где j и y определены в окрестности . Тогда, если производные и существуют и , то функция дифференцируема в точке и

.

Пример. Кривая, являющаяся траекторией движения точки на ободе колеса радиуса а, катящегося по оси ОХ, называется циклоидой (рис 9). Её параметрические уравнения:

Эта кривая не является графиком никакой элементарной функции, поэтому производную от этой функции можно вычислить только в параметрическом виде

.

Рис. 9

Например, при ,

т.е. угол наклона касательной к графику функции в этой точке равен .