Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева.

Обозначение .

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть и принимает на его концах значения разных знаков (т. е. ), тогда найдется по крайней мере одна точка с в интервале (а, ) такая, что

Рис. 14

Пример. Рассмотрим функцию на отрезке , для неё . Однако это функция нигде не обращается в нуль. Теорема здесь не применяется, потому что эта функция имеет разрыв в точке , и . (рис.14).

Рис.15

Это даёт алгоритм приближенного решения уравнения , который называется методом половинного деления.

Пример. Уравнение имеет корень на интервале . В самом деле, непрерывна на и , , т. е. .

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть

тогда .

Рис. 16

Эту теорему можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке [а, ] функция принимает все промежуточные значения между и f().

Первая теорема Вейерштрасса. Если ., то она ограничена на этом отрезке, т. е. .

Пример. Функция непрерывна в интервале (0,1), но не ограничена на нём, так как

.

Поэтому слово “отрезок” в этой теореме существенно.

Определение. Наибольшим значением функции в промежутке D называется такое значение , , при котором для всех (обозначение ).

Аналогично вводится понятие наименьшего значения функции в D (обозначение ).

Пример. Функции в интервале (-1,1) не принимают ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Вторая теорема Вейерштрасса. Функция достигает в нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Без доказательства (рис.17).

Рис. 17

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

3.Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

4.Основные теоремы о пределах функций.

5.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

6.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

7.Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

Литература:

[2] глава 3 § 3.3-3.10 стр. 86-126; [19] 2.5-2.7 стр. 162-180;

[18] § 5.5-5.10 стр. 146-189

Тема лекции: Производная и дифференциал (2 часа)