Задачи, приводящие к понятию производной

Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция .

Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность .

Определение. Приращением функции в точке называется разность

.

Это приращение зависит от двух аргументов и Dx. Геометрически Dx и Df означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку (рис.1).

Y

B

A

0 X

Рис.1

Пример. Если , то ,

т. е. при увеличении стороны квадрата, равной 1 на 0,1, его площадь возрастает на 0,21.

Используя понятия Dx, Dy, можно дать ещё одно определение непрерывности функции в точке , эквивалентное предыдущему.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки и , то она называется непрерывной в точке .

В самом деле, этот предел означает, что

, т. е. .

Определение. Если существует предел

то это число называется производной функции в точке .

Эта производная обозначается также одним из следующих символов:

.

Этот предел можно записывать также в виде

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции, для этого из определения выразим D f.

,

(где - б.м. при (свойство 3⁰ б.м., модуль 3)).

Следовательно,

.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Пример. Функция всюду непрерывна, однако она не дифференцируема при , так как .

, а этот предел, как мы выше проверяли, не существует.

Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь S(t) (рис.2).

Рис. 2

Тогда за промежуток времени от до она проходит путь

,

и средняя скорость точки на промежутке равна . Мгновенная скорость точки в момент равна пределу при .

.

Итак, мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и есть механический смысл производной.

Геометрический смысл производной. Через две точки и на графике функции проведём прямую. Эта прямая называется секущей к графику функции (рис.3). Её угловой коэффициент, т. Е. тангенс угла наклона к оси Ох равен

. (1)

Здесь может быть как положительным, так и отрицательным.

Y

B

D

A

С

0 X

Рис. 3

Определение. Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при .

Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой

.

Если существует, то из (1) следует, что

.

В этом случае график функции в точке имеет касательную.

Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (геометрический смысл производной).

Уравнение этой касательной имеет вид

Если не существует, то касательной к графику функции в точке провести нельзя (например, при ).

7.2. Примеры непосредственного вычисления производных. Основные правила дифференцирования.

Вычислим производные некоторых основных элементарных функций, исходя из определения производной.

1. Постоянная функция .

.

2. Показательная функция

.

(см. эквивалентные б.м., 6⁰).

В частности, .

3. Степенная функция .

(см. эквивалентные бесконечно малые 7⁰,).

В частности,

.

4. Логарифмическая функция .

В частности, .

5. Тригонометрические функции .

Аналогично .

Основные правила дифференцирования.

Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1.

2.

3. .

Примеры:

1.

Самостоятельно проверьте, что .

3.3. Производная сложной функции и обратной функций