![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если выполняются три условия:
1) существует ;
2) существует ;
3) .
В символической форме это определение записывается так:
.
Функция называется непрерывной в точке
слева (справа), если выполняются три условия:
1) ;
2) .
Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
График непрерывной функции представляет из себя непрерывную линию.
Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а,
] и принимает все значения из отрезка
, тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а,
), непрерывна в точке а справа и в точке
слева. (рис.9)
![]() |
Рис. 9
Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка .
Например, функция непрерывна во всех точках интервала
(–1,1), непрерывна в точке справа и в точке
слева, так как оно монотонно возрастает в
и для
.
Теорема Пусть функции и
непрерывны в точке
. Тогда функции
1) , 2)
, 3) при
.
также непрерывны в точке .
Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке
и
, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Рис. 10
Следствие 1. Если и функция
непрерывна в точке
, то
.
Пример. .
Следствие 2. Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева.
Это следует из теорем 1, 2, 3.
Дата публикования: 2014-10-23; Прочитано: 893 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!