Второй замечательный предел

.

Здесь е » 2,718282… – иррациональное число.

Доказательство. Мы докажем следующее утверждение:

существует и 2 < е< 3.

Для этого воспользовавшись формулой бинома Ньютона:

,

где , получаем:

Эта последовательность {х_n} обладает двумя свойствами:

а) Она монотонно возрастает, так как в x_n+1 на одно слагаемое больше, и каждое слагаемое в x_n+1 больше соответствующего слагаемого в {х_n}.

б) ,

т. е. {х_n} ограничена сверху числом 3. Следовательно, по свойству 4 пределов .

Пример. Вычислим предел