Наближені обчислення за допомогою рядів

Наведемо приклади розвинення елементарних функцій

у степеневі ряди:

(1)

(2)

(3)

(4)

( - будь-яке дійсне число; ряд називається біноміальним);

(5)

(6)

(7)

Для наближеного обчислення значення функції в точці її розкладають в степеневий ряд так щоб належало до області збіжності. У одержаному розвиненні вважають . Потім для обчислення з потрібною точністю беруть необхідне число його початкових членів. Так, наприклад, для обчислення arcsin(1/10) слід функцію arcsinx розкласти в степеневий ряд (по степеням x), а потім покласти в ньому .

Особливо відзначимо наступні випадки.

1. При обчисленні різних степенів числа користуються розвиненням (1). При оцінки похибки при цьому слід користуватися наступними оцінками для залишку ряду . При величина оцінюється нерівністю

При можна користуватися простішою оцінкою

2. При обчисленні значень синуса і косинуса користуються розвиненнями (2).(3).

Помилки наближення оцінюються відповідно нерівностями

3. Для обчислення логарифмів чисел можна користуватися рядом (6).

Похибка, що одержується при заміні суми ряду сумою його перших членів, може бути оцінена за допомогою формули

.

4. При обчисленні коренів -го ступеня з числа вважають (де – число, близьке , з якого добувається точний корінь, і таке, що ), тоді .

Одержану функцію розкладають в біноміальний ряд і беруть потім необхідне число перших доданків.

5.Теорію рядів можна застосувати і до інтегрування функцій. Якщо функція розвинена в ряд, що рівномірно збігається на відрізку , то інтеграл , де , часто також легко представляється у вигляді ряду, що збігається.