![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай|нехай| заданий ряд|лава,низка|
(1)
має|із| додатні члени (). За допомогою наступних|таких| достатніх ознак можна відповісти на питання, збігається він або розбігається.
Ознака порівняння 1. Нехай|нехай| дані ряди|лави,низки| (1) і
(2)
з|із| додатними членами, причому для всіх достатньо|досить| великих виконується умова
.
Тоді: із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) випливає збіжність ряду|лави,низки| (1);
з|із| розбіжності | ряду|лави,низки| (1) випливає розбіжність| ряду|лави,низки| (2).
Порівняння досліджуваних рядів|лав,низок| здійснюється частіше з |справляється,проводиться| |рядами|лавами,низками|:
,
(геометрична прогресія, яка збігається при
і розбігається при
),
(розбіжний гармонічний ряд|лава,низка|)
(узагальнений гармонічний ряд|лава,низка|, що збігається при
і розбігається при
).
Ознака порівняння 2. Якщо існує кінцева|скінченний| і відмінна|інша| від нуля границя , то обидва ряди|лави,низки| або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються. Якщо ж
, то із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) слідує збіжність ряду|лави,низки| (1).
Ознака Даламбера. Якщо існує границя , то при
ряд|лава,низка| (1) збігається, а при
-| розбігається (при
ряд|лава,низка| може збігатися або розбігатися – в цьому випадку питання про збіжність ряду|лави,низки| залишається відкритим|відчиненим|).
Ознака Коші (радикальна). Якщо існує границя , то при
ряд|лава,низка| (1) збігається, а при
-| розбігається (при
ряд|лава,низка| може збігатися або розбігатися).|лави,низки| |відчинен| |лави,низ
Помітимо|відмітимо|, що ознака Коші сильніше за ознаку Даламбера, оскільки|тому що| границя може існувати, а границя
- ні. Якщо ж границя
існує, то існує і границя
, причому обидві ці границі виявляються|опиняються| рівними.
Тому якщо застосування|вживання| однієї з граничних ознак (Даламбера і Коші) не дає відповіді про збіжність ряду|лави,низки| (одна з границь, або
рівна одиниці), то застосування|вживання| іншої ознаки також марно.
Інтегральна ознака Коші. Хай|нехай| загальний|спільний| член ряду|лави,низки| (1) . Якщо функція
, що приймає в точках
значення
, монотонно cпадає в деякому проміжку
, де
, то ряд|лава,низка| (1) і невласний інтеграл
збігаються або розбігаються одночасно.
3.1.3. Збіжність знакозмінних рядів|лав,низок|
Ряд|лава,низка| (1)
з|із| членами довільних знаків називається знакозмінним.
Якщо знакозмінний ряд|лава,низка| містить|утримує| кінцеве|скінченне| число від'ємних |заперечних| (додатних) членів, то його дослідження на збіжність зводиться до дослідження ряду з членами одного знаку|лави,низки|, оскільки|тому що| відкидання від ряду|лави,низки| скінченого|скінченного| числа членів (зокрема до членів одного знаку) не порушить його збіжності або розбіжності |.
Ряд|лава,низка| (1) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд|лава,низка|
(2)
складений з|із| модулів членів даного ряду|лави,низки|. Всякий|усякий| абсолютно збіжний ряд|лава,низка| є|з'являється,являється| збіжним, тобто із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) завжди слідує|прямує| збіжність ряду|лави,низки| (1).
Ряд|лава,низка| (1) називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд|лава,низка| (2), складений з|із| модулів його членів, розбігається.
Досліджувати на збіжність знакозмінний ряд|лава,низка| - значить|означає| не тільки|не лише| відповісти на питання, збігається він або розбігається, але і як збігається: абсолютно або умовно.
Серед знакозмінних рядів|лав,низок| особливо виділяють клас знакопереміжних рядів|лав,низок|. Ряд|лава,низка|
, (3)
у якому всі ,
, – числа одного знаку, називається знакопереміжним.
Для знакопереміжних рядів|лав,низок| справедлива наступна|така| достатня ознака збіжності.
Ознака Лейбніця |. Якщо члени знакопереміжного ряду|лави,низки| (3), починаючи|розпочинаючи,зачинаючи| з|із| деякого, монотонно спадають за абсолютною величиною, і якщо , то ряд|лава,низка| (3) збігається.
3.1.4. Функціональні ряди|лави,низки|
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 423 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!