![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Ряд|лава,низка|
, (1)
членами якого є|з'являються,являються| функції від аргументу , визначені на деякій множині
|безлічі|, називається функціональним. Якщо підставляти в ряд|лаву,низку| (1) певні числові значення
, то виходитимуть різні числові ряди|лави,низки|, серед яких можуть опинитися збіжні чи розбіжні.
Множина всіх значень , для яких функціональний ряд|лава,низка| збігається, називається областю збіжності функціонального ряду|лави,низки|.
Може трапитися, що для деяких
ряд|лава,низка| (1) збігається абсолютно, а для деяких – умовно. Тому розрізняють також області абсолютної і умовної збіжності функціонального ряду|лави,низки|.
Якщо функціональний ряд|лава,низка| має на деякій множині|безлічі| своєю сумою функцію , то говорять, що функціональний ряд|лава,низка| збігається на цій множині|безлічі| до функції
.
Збіжний на деякій множині функціональний ряд (1) називається рівномірно збіжним на цій множині, якщо для будь якого існує номер
, не залежний від
і такий, що для усіх
виконується нерівність
одночасно для усіх значень
даної множини.
Для знаходження областей збіжності функціональних рядів|лав,низок| можна використовувати достатні ознаки збіжності числових рядів|лав,низок|.
3.1.5. Степеневі|поважні| ряди|лави,низки|
Ряд|лава,низка| вигляду |виду|, (1)
членами якого є|з'являються,являються| степеневі|поважні| функції, називається степеневим|поважним|.
1. Теорема Абеля. Якщо степеневий|поважної| ряд|лава,низка| (1) збігається при , то він збігається, і притому абсолютно, для всіх значень
,задовольняючих нерівність
. Якщо ж степеневий|поважної| ряд|лава,низка| розбігається при
, то він розбігається і для всіх значень
, для яких
.
З|із| теореми Абеля слідує, що всяка|усяка| точка збіжності розташована|схильна| не далі від точки|точки| , чим всяка|усяка| точка розбіжністі|. З|із| неї слідує також, що існує інтервал
, для всіх точок
якого степеневий|поважної| ряд|лава,низка| збігається|поважн|лава, а для всіх
– розбігається. Цей інтервал називається інтервалом збіжності, а число
– радіусом збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки|. Радіус збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки| можна обчислювати|обчисляти,вичисляти| за однією з формул:
або
(2)
за умови, що|при умові, що,при условии | границі, які до них входять, існують.
2. На всякому|усякому| відрізку, що цілком належить інтервалу збіжності, степеневий |поважної| ряд|лава,низка| збігається рівномірно.
Одночасно з рядами|лавами,низками| вигляду|виду| розглядатимемо|розглядуватимемо| степеневі|поважні| ряди|лави,низки| більш загального вигляду|виду|:
. (3)
Підстановка призводить|призводить,наводить| до попереднього вигляду |виду|
. Якщо інтервал збіжності ряду
|лави,низки| симетричний щодо|відносно| точки
|точки|, то інтервал збіжності ряду
|лави,низки| визначається нерівностями,
і симетричний щодо|відносно| точки|точки|
.
Функціональний ряд |лава,низка| називається узагальненим степеневим|поважним|. Підстановка
призводить|призводить,наводить| його до вигляду |виду|
. Якщо
– область збіжності ряду
|лави,низки|, то для знаходження області збіжності даного ряду|лави,низки| слід розв’язати|розв'язати| нерівність
відносно
.
Досліджувати степеневий |поважною| ряд|лава,низка| на збіжність – значить|означає| знайти його інтервал збіжності і з'ясувати, збігається або розбігається ряд|лава,низка| в граничних точках інтервалу збіжності. Область збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки| завжди складається з його інтервалу збіжності і, мабуть, граничних точок цього інтервалу.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 546 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!