Функціональний ряд|лава,низка| і область його збіжності

Ряд|лава,низка|

, (1)

членами якого є|з'являються,являються| функції від аргументу , визначені на деякій множині |безлічі|, називається функціональним. Якщо підставляти в ряд|лаву,низку| (1) певні числові значення , то виходитимуть різні числові ряди|лави,низки|, серед яких можуть опинитися збіжні чи розбіжні.

Множина всіх значень , для яких функціональний ряд|лава,низка| збігається, називається областю збіжності функціонального ряду|лави,низки|.

Може трапитися, що для деяких ряд|лава,низка| (1) збігається абсолютно, а для деяких – умовно. Тому розрізняють також області абсолютної і умовної збіжності функціонального ряду|лави,низки|.

Якщо функціональний ряд|лава,низка| має на деякій множині|безлічі| своєю сумою функцію , то говорять, що функціональний ряд|лава,низка| збігається на цій множині|безлічі| до функції .

Збіжний на деякій множині функціональний ряд (1) називається рівномірно збіжним на цій множині, якщо для будь якого існує номер , не залежний від і такий, що для усіх виконується нерівність одночасно для усіх значень даної множини.

Для знаходження областей збіжності функціональних рядів|лав,низок| можна використовувати достатні ознаки збіжності числових рядів|лав,низок|.

3.1.5. Степеневі|поважні| ряди|лави,низки|

Ряд|лава,низка| вигляду |виду|, (1)

членами якого є|з'являються,являються| степеневі|поважні| функції, називається степеневим|поважним|.

1. Теорема Абеля. Якщо степеневий|поважної| ряд|лава,низка| (1) збігається при , то він збігається, і притому абсолютно, для всіх значень ,задовольняючих нерівність . Якщо ж степеневий|поважної| ряд|лава,низка| розбігається при , то він розбігається і для всіх значень , для яких .

З|із| теореми Абеля слідує, що всяка|усяка| точка збіжності розташована|схильна| не далі від точки|точки| , чим всяка|усяка| точка розбіжністі|. З|із| неї слідує також, що існує інтервал , для всіх точок якого степеневий|поважної| ряд|лава,низка| збігається|поважн|лава, а для всіх – розбігається. Цей інтервал називається інтервалом збіжності, а число – радіусом збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки|. Радіус збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки| можна обчислювати|обчисляти,вичисляти| за однією з формул:

або (2)

за умови, що|при умові, що,при условии | границі, які до них входять, існують.

2. На всякому|усякому| відрізку, що цілком належить інтервалу збіжності, степеневий |поважної| ряд|лава,низка| збігається рівномірно.

Одночасно з рядами|лавами,низками| вигляду|виду| розглядатимемо|розглядуватимемо| степеневі|поважні| ряди|лави,низки| більш загального вигляду|виду|:

. (3)

Підстановка призводить|призводить,наводить| до попереднього вигляду |виду| . Якщо інтервал збіжності ряду |лави,низки| симетричний щодо|відносно| точки |точки|, то інтервал збіжності ряду |лави,низки| визначається нерівностями, і симетричний щодо|відносно| точки|точки| .

Функціональний ряд |лава,низка| називається узагальненим степеневим|поважним|. Підстановка призводить|призводить,наводить| його до вигляду |виду| . Якщо – область збіжності ряду |лави,низки|, то для знаходження області збіжності даного ряду|лави,низки| слід розв’язати|розв'язати| нерівність відносно .

Досліджувати степеневий |поважною| ряд|лава,низка| на збіжність – значить|означає| знайти його інтервал збіжності і з'ясувати, збігається або розбігається ряд|лава,низка| в граничних точках інтервалу збіжності. Область збіжності степеневого|поважного| ряду|лави,низки| завжди складається з його інтервалу збіжності і, мабуть, граничних точок цього інтервалу.