Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
темою " Ряди"
Завдання 1. Дослідити на збіжність ряди з додатними членами:
а)
Розв’язання: за ознакою Даламбера [1, с. 238—240], маємо:
;
Так як , то цей ряд за ознакою Д'Аламбера розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
б)
Розв’язання: за ознакою Коші [1, с. 242], маємо:
.
Так як , то цей ряд за ознакою Коші розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
Користуючись ознаками порівняння, дослідити на збіжність ряди:
в)
Розв’язання
Дослідимо цей ряд за допомогою граничної ознаки порівняння [1, с. 237]
За ряд, з яким будемо порівнювати даний ряд, візьмемо узагальнений гармонічний збіжний ряд . Маємо
Для того, щоб можна було скористатися граничною ознакою порівняння треба щоб границя була скінченою і ненульовою. Це виконується, коли степені чисельника та знаменника рівні. Отже, обираємо Тоді
Оскільки отримали скінчену ненульову границю, то обидва ряди мають однакову збіжність. Узагальнений гармонічний ряд при збігається. Отже, заданий ряд також є збіжний.
Відповідь: ряд збігається.
г)
Розв`язання: будемо користуватися ознакою порівняння [1, с. 234]. За ряд, з яким будемо порівнювати даний ряд, візьмемо узагальнений гармонічний ряд
.
Для даних рядів виконується нерівність: ;
Так як узагальнений гармонічний ряд збігається (р=⅔>1, [1, с. 245]), то ряд також збігається за ознакою порівняння.
Відповідь: ряд збігається.
д)
Розв’язання: розглянемо функцію . Ця функція є додатною, нерозривною та монотонно спадає при . Тому можливо досліджувати цей ряд на збіжність, користуючись інтегральною ознакою збіжності [1, с. 243]. Для цього необхідно дослідити на збіжність невласний інтеграл
Так як невласний інтеграл збігається, то даний ряд також збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Завдання 2. Дослідити на збіжність та абсолютну збіжність знакопереміжний ряд
.
Розв’язання: Оскільки заданий ряд є знакопереміжним, то можемо скористатися ознакою Лейбніця
.
Абсолютні значення членів даного знакопереміжного ряда зменшуються:
і, крім того,
.
Тому, за ознакою Лейбніца, [1, с.246], цей ряд збігається. Визначимо, як збігається даний ряд: абсолютно чи умовно. Для цього складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду та дослідимо його на збіжність за допомогою ознаки Даламбера [1, с.238—240].
Маємо
Так як , то даний ряд збігається. Таким чином, даний знакопереміжний ряд збігається абсолютно.
Відповідь: ряд збігається абсолютно.
Завдання 3. Знайти область збіжності степеневого ряду.
а)
Роз’язання. Знайдемо радіус збіжності ряду за формулою (2.71) [1, с.241]: . Для даного ряду
; .
Маємо Отже, даний ряд збігається при .Тоді інтервал збіжності .
Тепер дослідимо поведінку ряду у точках й . Підставимо в данний ряд замість x значення . Одержимо ряд . Дослідимо цей знакопереміжний ряд на збіжність за ознакою Лейбніця [1, с.246]. Для нього виконуються наступні умови:
1) 2) .
Умови ознаки Лейбніця виконані.Отже при даний степеневий ряд збігається.
При дістаємо ряд . Порівняємо його з рядом Діріхле , який збігається при . Так як , то за ознакою порівняння [1, с.237] ряд збігається.
Відповідь: область збіжності .
б) .
Розв’язання:
; .
Отже: . Даний ряд збігається на усій числовій осі, тобто, .
Відповідь: область збіжності .
в) .
Розв'язання: Коефіцієнти цього ряду при парних степенях дорівнюють нулю. Тому ми не можемо скористатися безпосередньо формулами (2.71)
[1, с.241]. Винесемо спільний множник за знак суми.
Скористаємося ознакою Даламбера.
За ознакою Даламбера ряд збігається при й розбігається при . Для знаходження точок збіжності розв'яжемо нерівність
При виконанні умови даний ряд розбігається. Ця нерівність виконується при Отже інтервалом збіжності є
Дослідимо на збіжність цей ряд в кінцях інтервалу збіжності.
Нехай . Маємо ряд . За допомогою ознаки порівняння у граничній формі даний ряд порівняємо з розбіжним гармонічним рядом . . Отже, обидва ряди мають однакову збіжність і при степеневий ряд розбігається. Нехай . Тоді маємо знакосталий ряд Оскільки ряд розбігається, то і
ряд - також розбіжний (що виходить з теореми 1[1, с.226]).
Відповідь:
Завдання 4. а) Розвинути в ряд Маклорена функцію .Вказати область збіжності отриманого ряду до цієї функції.
Розв'язання. Замінюючи в розкладанні (2.114) [1,с.265] на .
Маємо ,
або ,
Відповідь: ,
б) Розвинути функцію у ряд Тейлора в околі точки . Знайти область збіжності здобутого ряду.
Розв'язання: Для розв'язання даної задачі скористаємося формулою суми нескінченої геометричної прогресії при
Отже при
Остання нерівність виконується при Тобто
Відповідь: ; область збіжності .
Завдання 5. За допомогою розвинення у степеневий ряд обчислити з точністю до .
Розв’язання. Для обчислення скористаємося біноміальним рядом , де (формула (2.115) [1,с.266]). Заданий вираз перепишемо у вигляді: .
Вважаючи ; , одержуємо
Знаки членів одержаного числового ряду чергуються, починаючи з другого члену. Обмежившись першими n доданками припустимо похибку, модуль якої за наслідком ознаки Лейбніца не перевищує модуля першого відкинутого члена. Оскільки модуль третього члена ряду менш за , то ми можемо залишити тільки перші два доданки.
Відповідь:.
Завдання 6. Використовуючи розвинення підінтегральної функції в степеневий ряд, обчислити визначний інтеграл з точністю до .
.
Роз’в'язання: Використаємо розвинення в ряд функції : . Ряд справа збігається рівномірно на кожному відрізку , зокрема на відрізку Проінтегруємо обидві частини рівності. 0,08333-0,015625+0,004166-0,001302+0,000446-... Одержали знакопереміжний числовий ряд, модулі членів якого спадають. Знаки членів одержаного ряду чергуються, починаючи з першого члену. Оскільки модуль п'ятого члену ряду менш за , то залишимо тільки перші чотири доданки. Тому маємо, що.
Відповідь:
Завдання 7. Методом послідовного диференціювання знайти перші k ненульових членів розвинення в степеневий ряд розв’язку рівняння при даних початкових умовах:
, , k= 5.
Розв'язання: Шукаємо розв'язок у вигляді
Знайдемо другу, третю, четверту і п’яту похідні функції і обчислимо їх для х=0:
;
; ;
; .
;
.
Тоді розв’язок буде мати вигляд:
Відповідь:
Завдання 8. Розвинути в ряд Фур'є періодичну з періодом функцію
Розв'язання. Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є за формулами (3.5),(3.8), (3.9) [1,с.281,с.282]:
;
Отже, підставляючи коефіцієнти у формулу (3.4) [1, с. 280] одержимо
Завдання 9. Розвинути в ряд Фур'є функцію , задану в інтервалі , до визначивши її парним та непарним способом.
Розв’язання.
а)Продовжимо дану функцію на парним способом.У цьому випадку ряд Фур'є має вигляд
, ,
де коефіцієнти обчислюються за формулами (3.12), (3.13) [1, с.285].
Знаходимо:
;
де
Підставляючи коефіцієнти в ряд Фур'є, маємо:
.
б)Продовжимо дану функцію на непарним способом
У цьому випадку ряд Фур'є має вигляд:
де .
Маємо
Одержимо
.
Завдання 10. Розвинути в ряд Фур¢є функцію
(з періодом ).
Розв¢язання. Обчислимо коефіцієнти ряду Фур¢є:
;
Отже,
,
Одержимо
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 3261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!