Зразок виконання розрахунково-графічної роботи №5 за

темою " Ряди"

Завдання 1. Дослідити на збіжність ряди з додатними членами:

а)

Розв’язання: за ознакою Даламбера [1, с. 238—240], маємо:

;

Так як , то цей ряд за ознакою Д'Аламбера розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

б)

Розв’язання: за ознакою Коші [1, с. 242], маємо:

.

Так як , то цей ряд за ознакою Коші розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

Користуючись ознаками порівняння, дослідити на збіжність ряди:

в)

Розв’язання

Дослідимо цей ряд за допомогою граничної ознаки порівняння [1, с. 237]

За ряд, з яким будемо порівнювати даний ряд, візьмемо узагальнений гармонічний збіжний ряд . Маємо

Для того, щоб можна було скористатися граничною ознакою порівняння треба щоб границя була скінченою і ненульовою. Це виконується, коли степені чисельника та знаменника рівні. Отже, обираємо Тоді

Оскільки отримали скінчену ненульову границю, то обидва ряди мають однакову збіжність. Узагальнений гармонічний ряд при збігається. Отже, заданий ряд також є збіжний.

Відповідь: ряд збігається.

г)

Розв`язання: будемо користуватися ознакою порівняння [1, с. 234]. За ряд, з яким будемо порівнювати даний ряд, візьмемо узагальнений гармонічний ряд

.

Для даних рядів виконується нерівність: ;

Так як узагальнений гармонічний ряд збігається (р=⅔>1, [1, с. 245]), то ряд також збігається за ознакою порівняння.

Відповідь: ряд збігається.

д)

Розв’язання: розглянемо функцію . Ця функція є додатною, нерозривною та монотонно спадає при . Тому можливо досліджувати цей ряд на збіжність, користуючись інтегральною ознакою збіжності [1, с. 243]. Для цього необхідно дослідити на збіжність невласний інтеграл

Так як невласний інтеграл збігається, то даний ряд також збігається.

Відповідь: ряд збігається.

Завдання 2. Дослідити на збіжність та абсолютну збіжність знакопереміжний ряд

.

Розв’язання: Оскільки заданий ряд є знакопереміжним, то можемо скористатися ознакою Лейбніця

.

Абсолютні значення членів даного знакопереміжного ряда зменшуються:

і, крім того,

.

Тому, за ознакою Лейбніца, [1, с.246], цей ряд збігається. Визначимо, як збігається даний ряд: абсолютно чи умовно. Для цього складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду та дослідимо його на збіжність за допомогою ознаки Даламбера [1, с.238—240].

Маємо

Так як , то даний ряд збігається. Таким чином, даний знакопереміжний ряд збігається абсолютно.

Відповідь: ряд збігається абсолютно.

Завдання 3. Знайти область збіжності степеневого ряду.

а)

Роз’язання. Знайдемо радіус збіжності ряду за формулою (2.71) [1, с.241]: . Для даного ряду

; .

Маємо Отже, даний ряд збігається при .Тоді інтервал збіжності .

Тепер дослідимо поведінку ряду у точках й . Підставимо в данний ряд замість x значення . Одержимо ряд . Дослідимо цей знакопереміжний ряд на збіжність за ознакою Лейбніця [1, с.246]. Для нього виконуються наступні умови:

1) 2) .

Умови ознаки Лейбніця виконані.Отже при даний степеневий ряд збігається.

При дістаємо ряд . Порівняємо його з рядом Діріхле , який збігається при . Так як , то за ознакою порівняння [1, с.237] ряд збігається.

Відповідь: область збіжності .

б) .

Розв’язання:

; .

Отже: . Даний ряд збігається на усій числовій осі, тобто, .

Відповідь: область збіжності .

в) .

Розв'язання: Коефіцієнти цього ряду при парних степенях дорівнюють нулю. Тому ми не можемо скористатися безпосередньо формулами (2.71)

[1, с.241]. Винесемо спільний множник за знак суми.

Скористаємося ознакою Даламбера.

За ознакою Даламбера ряд збігається при й розбігається при . Для знаходження точок збіжності розв'яжемо нерівність

При виконанні умови даний ряд розбігається. Ця нерівність виконується при Отже інтервалом збіжності є

Дослідимо на збіжність цей ряд в кінцях інтервалу збіжності.

Нехай . Маємо ряд . За допомогою ознаки порівняння у граничній формі даний ряд порівняємо з розбіжним гармонічним рядом . . Отже, обидва ряди мають однакову збіжність і при степеневий ряд розбігається. Нехай . Тоді маємо знакосталий ряд Оскільки ряд розбігається, то і

ряд - також розбіжний (що виходить з теореми 1[1, с.226]).

Відповідь:

Завдання 4. а) Розвинути в ряд Маклорена функцію .Вказати область збіжності отриманого ряду до цієї функції.

Розв'язання. Замінюючи в розкладанні (2.114) [1,с.265] на .

Маємо ,

або ,

Відповідь: ,

б) Розвинути функцію у ряд Тейлора в околі точки . Знайти область збіжності здобутого ряду.

Розв'язання: Для розв'язання даної задачі скористаємося формулою суми нескінченої геометричної прогресії при

Отже при

Остання нерівність виконується при Тобто

Відповідь: ; область збіжності .

Завдання 5. За допомогою розвинення у степеневий ряд обчислити з точністю до .

Розв’язання. Для обчислення скористаємося біноміальним рядом , де (формула (2.115) [1,с.266]). Заданий вираз перепишемо у вигляді: .

Вважаючи ; , одержуємо

Знаки членів одержаного числового ряду чергуються, починаючи з другого члену. Обмежившись першими n доданками припустимо похибку, модуль якої за наслідком ознаки Лейбніца не перевищує модуля першого відкинутого члена. Оскільки модуль третього члена ряду менш за , то ми можемо залишити тільки перші два доданки.

Відповідь:.

Завдання 6. Використовуючи розвинення підінтегральної функції в степеневий ряд, обчислити визначний інтеграл з точністю до .

.

Роз’в'язання: Використаємо розвинення в ряд функції : . Ряд справа збігається рівномірно на кожному відрізку , зокрема на відрізку Проінтегруємо обидві частини рівності. 0,08333-0,015625+0,004166-0,001302+0,000446-... Одержали знакопереміжний числовий ряд, модулі членів якого спадають. Знаки членів одержаного ряду чергуються, починаючи з першого члену. Оскільки модуль п'ятого члену ряду менш за , то залишимо тільки перші чотири доданки. Тому маємо, що.

Відповідь:

Завдання 7. Методом послідовного диференціювання знайти перші k ненульових членів розвинення в степеневий ряд розв’язку рівняння при даних початкових умовах:

, , k= 5.

Розв'язання: Шукаємо розв'язок у вигляді

Знайдемо другу, третю, четверту і п’яту похідні функції і обчислимо їх для х=0:

;

; ;

; .

;

.

Тоді розв’язок буде мати вигляд:

Відповідь:

Завдання 8. Розвинути в ряд Фур'є періодичну з періодом функцію

Розв'язання. Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є за формулами (3.5),(3.8), (3.9) [1,с.281,с.282]:

;

Отже, підставляючи коефіцієнти у формулу (3.4) [1, с. 280] одержимо

Завдання 9. Розвинути в ряд Фур'є функцію , задану в інтервалі , до визначивши її парним та непарним способом.

Розв’язання.

а)Продовжимо дану функцію на парним способом.У цьому випадку ряд Фур'є має вигляд

, ,

де коефіцієнти обчислюються за формулами (3.12), (3.13) [1, с.285].

Знаходимо:

;

де

Підставляючи коефіцієнти в ряд Фур'є, маємо:

.

б)Продовжимо дану функцію на непарним способом

У цьому випадку ряд Фур'є має вигляд:

де .

Маємо

Одержимо

.

Завдання 10. Розвинути в ряд Фур¢є функцію

(з періодом ).

Розв¢язання. Обчислимо коефіцієнти ряду Фур¢є:

;

Отже,

,

Одержимо