Розв’язання. Дане рівняння - однорідне диференціальне рівняння 4-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Дане рівняння - однорідне диференціальне рівняння 4-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Складаємо характеристичне рівняння:

.

Звідси ,

, .

Тоді фундаментальна система розв’язків складається з функцій

.

Загальний розв'язок вихідного рівняння набуває вигляду

.

Знайдемо розв'язок задачі Коші. Для цього скористаємося початковими умовами.

При , тоді .

Знайдемо першу похідну від .

.

При , тоді .

.

При , тоді .

.

При , тоді .

Маємо Звідси ,

.

Маємо розв'язок задачі Коші

.

Відповідь: .

Завдання 12. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.