![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння го порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд
. (1)
Кожному такому рівнянні відповідає лінійне однорідне рівняння
. (2)
Теорема. Загальний розв’язок в області рівняння (1) з неперервною правою частиною
дорівнює сумі загального розв’язку
відповідного однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку
неоднорідного рівняння, тобто
.
Розглянемо два методи розв’язання неоднорідних рівнянь.
Метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод можна використовувати якщо права частина рівняння (1) має вигляд
, (3)
де і
дійсні числа, а
і
– многочлени відповідно –
-й і
-й степенів з дійсними коефіцієнтами, то частинний розв’язок, рівняння (1) шукається у вигляді
, (4)
де і
– многочлени
-й степені (
- найбільша із степенів
і
) з невизначеними коефіцієнтами, а
– кратність, з| якою число
входить до числа коренів характеристичного рівняння.
Для того, щоб знайти коефіцієнти многочленів і
, шуканий частинний розв’язок (4) підставляють в ліву частину диференціального рівняння (1) і виконують відповідні спрощення; потім в одержаній тотожності прирівнюють коефіцієнти при подібних членах в лівій і правій частинах, що дає систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів, з якої вони визначаються.
Вкажемо вигляд частинного розв’язку для деяких окремих випадків функції (3):
1) якщо ,
, то
і частинний розв’язок шукається у вигляді
,
де – кратність, з якою нуль входить до числа коренів характеристичного рівняння;
невідомі коефіцієнти.
2) якщо , то
і частинний розв’язок шукається у вигляді
,
де – кратність, з якою
входить до числа коренів характеристичного рівняння;
3) якщо ,
, то
і частинний розв’язок шукається у вигляді
,
де – кратність, з якою
входить до числа коренів характеристичного рівняння.
В тому випадку, якщо права частина рівняння (1) є сума функції вигляду (3), тобто
,
потрібно заздалегідь знайти частинні розв’язки ,
,…,
, відповідні функціям
,
,…,
. Тоді частинний розв’язок рівняння (1) запишеться у вигляді.
.
Метод варіації довільних сталих. Більш загальним методом розв’язання лінійного неоднорідного рівняння (1) є метод варіації довільних сталих. Приведемо його для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку:
. (5)
Хай і
– лінійно незалежні частинні розв’язки відповідного однорідного рівняння
. (6)
Тоді загальний розв’язок неоднорідного рівняння (5) слід шукати у вигляді
, (7)
де функції і
визначаються з системи рівнянь:
(8)
Після розв’язання системи рівнянь (8), знаходимо
,
, (9)
де - визначник Вронського, складений для розв’язків
і
.
Інтегруємо рівності (9) і одержуємо
,
. (10)
Далі після підстановки знайдених функцій і
в співвідношення (7), одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1).
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 406 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!