Зі сталими коефіцієнтами

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням -го порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння

, (1)

у якому функція та ії похідні мають перший степінь, та коефіцієнти - сталі.

Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (1) має вигляд

, (2)

де - лінійно незалежні на частинні розв'язки (фундаментальна система розв’язків) цього рівняння, а - довільні сталі.

Лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння (1) необхідно шукати у вигляді . Це зводить рівняння (1) до алгебраїчного рівняння ступеню

, (3)

яке називають характеристичним.

Далі необхідно знайти усі корені рівняння (3). Лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння (1) будуються залежно від характеру коренів рівняння (3) згідно наступним правилам:

1) кожному дійсному однократному кореню характеристичного рівняння відповідає частинний розв’язок рівняння (1);

2) кожній парі однократних комплексно-спряжених коренів і відповідають два частинних лінійно незалежних розв’язка рівняння (1): і ;

3) кожному дійсному кореню кратності відповідає лінійно незалежних частинних розв’язків рівняння (1) ;

4) кожній парі комплексно-спряжених коренів і кратності відповідають частинних лінійно незалежних розв’язків рівняння (1):

; ; ;...;

; ; ;...; .