Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность: аRa («быть не больше», «быть не меньше»).

2. Антирефлексивность: отношение не обладает свойством 1 для любого а (например, «быть больше», «быть меньше», «быть младше»).

3. Симметричность: для любых двух элементов а, b є М: аRb и bRа (т.е. R = R^-1). Симметрична параллельность прямых, так как если a II b, то
b II a («быть равным»; «быть взаимнопростым»).

4. Aнтисимметричность: если для а ≠ b верно отношение аRb, то ложно bRа («быть больше», «не меньше», «быть делителем»).

5. Транзитивность: если аRb и bRс, то аRс для любых а, b, с є М («быть больше», «быть параллельным», «быть равным»).

6. Антитранзитивность: отношение не обладает свойством 5.

7. Асимметричность: ни для одной пары а и b не выполняется одновременно аRb и bRа.

8. Связность: для любых а и b, если а ≠ b, то аRb или bRа.

Вывод:

Отношение ≤ и ≥ (нестрогого порядка), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение < и > (строгого порядка), если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пример 13. Бинарное отношение

R = {(x,y): x є R, у є R, х²-у²>0} обладает свойствами антирефлексив-ности и транзитивности.

Пример 14. Бинарное отношение

R = {(x,y): x є R, у є R, х-у ≥ 1} обладает свойствами антисимметрич-ности и транзитивности.

Пример 15. Свойством симметричности обладает бинарное отношение «быть подобным».