Кортежи и декартово произведение множеств

Определение. Пусть даны множества Х₁,…,Х_n. Кортежем длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность α = (х₁,...,х_n), где для всех к, 1≤ к ≤ n, имеем х_к є Х_к. Элемент х_к называется к- й координатой (или к- й компонентой) кортежа α.

Пример 7. Из множеств {a,b,c} и {1,2} можно составить 6 кортежей длины 2: (а,1), (а,2), (b,1), (b,2), (с,1), (с,2).

Пример 8. Любое слово является кортежем, составленным из букв; десятичная запись любого натурального числа – кортежем, составленным из цифр, и т.д.

Пример 9. Любое упорядоченное конечное множество является кортежем, все координаты которого различны.

Определение. Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны.

Таким образом, кортежи α = (х₁,...,х_m) и β = (у₁,...,у_n) равны ó m = n, причем х_к = у_к для всех к, где 1≤ к ≤ n.

Пример 10. Кортежи (1²,2²,3²) и (√1, √16, √81) равны. Кортежи (1,2,3) и (2,3,1) различны.

Координатами кортежа могут быть множества, кортежи и т.д. При этом, например, кортежи ({a,b},c) и ({b,а},c) равны, так как {a,b} = {b,а}. Кортежи ((a,b),c) и ((b,а),c) различны, так как (a,b)≠ (b,а).

Кортеж, не содержащий ни одной координаты (т.е. кортеж длины 0), называется пустым.

Определение. Пусть А₁,…,А_n – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из всех кортежей вида (а₁,…,а_n), где а_к є А_к, 1≤ к ≤ n. Декартово произведение множеств А₁,…,А_n обозначают А₁x…xА_n..

Пример 11. Если А= {1,2,3}, B= {x,y}, то
А´В = {(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)}
и В´А= {(x,1),(х,2),(х,3),(y,1),(у,2),(y,3)}.

Этот пример показывает, что декартовы произведения А´В и В´А различны, хотя они содержат поровну элементов.

Различны и множества А´В´С, (А´В)´С и А´(В´С) – первое состоит из троек (a,b,c), второе – из пар вида ((a,b),c), а третье – из пар вида (a,(b,c)), где во всех трех случаях а є А, b є В, c є C.

Если хотя бы одно из множеств А, В пусто, то считают, что и их декартово произведение пусто: А´Ø = Ø´В = Ø´Ø = Ø.