Решение. 1. Область определения функции (- )

1. Область определения функции (- )

2. Заменим x на (-x): f (- х) = (- х)³ - 3 (- х)² +2 = - х ³ - 3 х ² +2

Так как f (-х) f (х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

При x = 0 y = 2 (0;2) - точка пересечения с осью 0y.

Точки пересечения графика функции с осью 0x находим при y = 0, т.е. x³ - 3 x² + 2 = 0

Разложим выражение x³ - 3 x² + 2 на множители:

x³ - 3 x² + 2=(x- 1 )(x- 1- )(x- 1+ )

Решив уравнение (x- 1 )(x- 1- )(x- 1+ ))=0, находим нули функции:

x₁=1, x₂=1- , x₃=1+ В этих точках график функции пересекает ось 0 x.

1- 1 1+

Определим интервалы знакопостоянства.

На интервалах (-¥; 1- ),(1;1+ ) f(x)<0, значит график функции расположен ниже оси 0x.

На интервалах (1- ;1), (1+ ;¥) f(x)>0, значит график функции расположен выше оси 0x.

4. Так как функция не имеет точек разрыва, то вертикальных асимптот нет. Наклонная асимптота имеет уравнение у = кх + в,

где к = = = =

Так как к = , то наклонных асимптот нет.

5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.

Имеем у ¢ =(x³ - 3 x² + 2) ¢=3 х² – 6 x

у ¢ = 0при3 х² – 6 x = 0

х₁ =0 х₂ = 2- стационарные точки.

На интервалах (- , 0) и (2, ) f¢(x)>0 значит функция возрастает

На (0, 2) f ¢(x)<0 значит функция убывает

х = 0 - точка максимума, f (0)= 2.

x = 2- точка минимума, f (2)= -2.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба.

Имеем: у¢¢ = (3 х² – 6 х)¢ = 6 x - 6

у¢¢ = 0при х = 1 - точка возможного перегиба.

На интервале (- ; 1) f ¢¢(x)<0, значит график функции выпуклый.

На интервале (1; ) f ¢¢(x)>0, значит график функции вогнутый.

В точке с абсциссой х = 1 график функции имеет перегиб.

f (1) = 0 - ордината точки перегиба.

7. Построим таблицу

х	-1	1-				1+
у	-2				-2

8. Построим график функции.