Решение. Найдем ординату точки касания

Найдем ординату точки касания

f (3) = 3² - 4 ·3 + 2 = -1.

М (3; -1)- точка касания.

Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку M(х₀ ;у₀).

y=f(x₀)+ f ' (x₀)(x- x₀)

В нашем примере к = f ' (x₀), x₀=3, y₀=f(3)=-1

к = f ' (3) = (x² - 4x + 2) ' |_x=3 = (2x - 4) | _x=3 = 2 · 3 - 4 = 2.

Поэтому исходное уравнение примет вид

у=- 1 + 2(х - 3) или у = 2х -7.

В общем виде 2 х - у - 7 = 0 - уравнение касательной.

Уравнение нормали: y= f(x₀) - (х - х₀), где к = -

Так как при х₀ = 3 у₀=f(3)=-1 и f ' (3) = 2, то

у = - 1 - (х - 3)

2 у = - 2 - х + 3

В общем виде х + 2 у - 1 = 0 - уравнение нормали.

Для построения чертежа найдем вершину параболы у = х² - 4 х + 2.

у ' = 2 х - 4 = 0 х = 2

f (2)= 2² - 4 ·2 + 2 = -2

В (2; -2)- вершина параболы.

Найдем точки пересечения параболы с осью 0 х (у = 0)и осью 0 y (x = 0)

х² - 4 х + 2 = 0

х_1,2 = 2 = 2

А₁ (2 - ; 0),

А₂ (2 + ; 0) - точки пересечения параболы с осью 0 x

С (0;2) - точка пересечения с осью 0y.

Ответ: 2 х - у - 7 = 0 - уравнение касательной;

х + 2 у - 1 = 0 - уравнение нормали.

Задание VII.

Прямолинейное движение точки задано уравнением S = 4 t4 - t - 5, где S - в метрах, t - в секундах. Найти величину скорости в момент времени 1 сек. и величину ускорения в момент времени 2 сек.