Решение. Введем обозначение матриц

Введем обозначение матриц.

3 -2 1 А = 1 1 -2 4 -1 1

х1 Х = х2 х3

9 В = 0 13

Тогда АХ = В - матричная запись системы уравнений.

Вычислим определитель матрицы А

			3 -2 1
Δ =	А	=	1 1 -2	= 10
			4 -1 1

Δ =

А

Т.к. = 10 ≠ 0, то матрица А невырожденная и имеет обратную А^-1.

Х = А^-1 В - решение системы уравнений в матричном виде.

Найдем обратную матрицу по формуле

А₁₁ А₂₁ А₃₁

А^-1 = · (А*)^Т = А₁₂ А₂₂ А₃₂

А₁₃ А₂₃ А₃₃,

где | A| - определитель матрицы А.

А* - матрица, присоединенная для А.

(А*)^Т - транспонированная матрица.

А_ij - i, j = 1, 2, 3, алгебраические дополнения для элементов а_ij
в определителе | A|.

Вычислим алгебраические дополнения.

А11 = (-1)1+1 = -1.

А21 = (-1)2+1 = 1.

А31 = (-1)3+1 = 3.

А12 = (-1)1+2 =-9.

А22 = (-1)2+2 = -1.

А32 = (-1)3+2 = 7.

А13 = (-1)1+3 = -5.

А23 = (-1)2+3 = -5.

А33 = (-1)3+3 = 5.

Подставим их в формулу обратной матрицы

-1 1 3

А^-1 = -9 -1 7

-5 -5 5

Найдем решение системы из матричного равенства

х₁ -1 1 3 9 -1 · 9 + 1· 0 + 3 · 13

х₂ = -9 -1 7 0 = -9 · 9 - 1 · 0 + 7 · 13 =

х₃ -5 -5 5 13 -5 · 9 -5 · 0 +5 · 13

30 3

= 10 = 1

20 2

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1, х₃ = 2.

Задание II.

С помощью скалярного произведения векторов вычислить, какую работу производит сила =2 -3 , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (-4; 3) в положение В (2; 1)