Частные признаки делимости

1) Если - делитель числа , то для того, чтобы число, записанное в -ичной системе счисления, делилось на необходимо и достаточно, чтобы на делилась сумма его цифр.

Следствие. Натуральное число , записанное в десятичной системе счисления, делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда на 3 (на 9) делится сумма его цифр.

2) Если - делитель числа , то для того, чтобы число, записанное в -ичной системе счисления, делилось на необходимо и достаточно, чтобы на делилась разность между суммами цифр этого числа, стоящих на чётных и нечётных местах.

Следствие. Натуральное число , записанное в десятичной системе счисления, делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами цифр, стоящих на чётных и нечётных местах в числе , делится на 11.

3) Если - делитель числа , то для того, чтобы число , записанное в -ичной системе счисления, делилось на необходимо и достаточно, чтобы на делилось число, записанное последними цифрами числа (взятыми в том же порядке).

Следствие. Натуральное число , записанное в десятичной системе счисления, делится на 2 (или на 5; на 10; на 4; на 25 и т.д.) тогда и только тогда, когда на 2 (на 5; на 10; на 4; на 25 и т.д.) делится последняя цифра числа (последняя цифра; последняя цифра; число, записанное двумя последними цифрами и т.д.).

4) Натуральное число , записанное в десятичной системе счисления, делится на 7 (или на 11; или на 13) тогда и только тогда, когда на 7 (на 11; на 13) делится разность между числом, записанным тремя последними цифрами числа , и числом, записанным остальными цифрами (или наоборот).

Пример 13. Вывести признак делимости на 84 в десятичной системе счисления и выяснить, будет ли число =465252384 делиться на 84.

Заметим, что По предыдущему (частные признаки делимости в десятичной системе счисления) получаем признак делимости на 84 в десятичной системе счисления: число делится на 84 тогда и только тогда, когда число, записанное двумя последними цифрами числа делится на 4; сумма цифр числа делится на 3 и разность между числом, записанным последними тремя цифрами числа и остальными его цифрами делится на 7.

Проверим, будет ли заданное число делиться на 84. Заметим, что первое условие признака делимости на 84 выполняется: 84⋮4. Сумма цифр числа в нашем случае равна 39=4+6+5+2+5+2+3+8+4 - делится на 3. В условии 3 лучше взять разность наоборот: 465252-384=464868. Применим ещё раз данную процедуру: 868-464=404 не делится на 7, т.к. 404=7∙57+5. Поэтому условие 3 признака делимости на 84 не выполняется и число =465252384 не делится на 84.