Конечные и бесконечные десятичные дроби

Определение. Конечной –ичной систематической дробью называется число () , где –целое систематическое число, -целые числа такие, что .

Для записи дроби , где - натуральные числа, в виде –ичной систематической дроби, достаточно научиться делать это для правильных обыкновенных дробей. В этом случае и .

Теорема 14.1. Правильная несократимая дробь может быть представлена в виде () тогда и только тогда, когда в разложение знаменателя на простые множители входят только те простые числа, которые входят и в разложение на простые множители основания .

Следствие. Несократимая дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложение знаменателя на простые множители входят лишь числа 2 и 5, т.е. , где - целые неотрицательные числа.

Пример 10. Представьте дробь в виде конечной двенадцатеричной систематической дроби.

Так как , а , то дробь представима в требуемом виде. Тогда Здесь - максимальный из показателей чисел 2 и 3 в каноническом представлении числа 24 (знаменателя дроби). Но . Значит, .

Аналогичный приём представления дроби в виде конечной систематической дроби по любому основанию применим во всех случаях, когда знаменатель дроби удовлетворяет условию теоремы 14.1.

Определение. Правильной бесконечной –ичной дробью называется ряд ( ) , где –целые числа такие, что для всех

Замечание. Так как для любого верно неравенство , а ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем , то ряд () сходится, т.е. существует единственное действительное число α такое, что

Теорема 15.1. Если рациональное число нельзя представить в виде конечной -ичной дроби (), то число единственным образом представляется в виде правильной бесконечной -ичной дроби ().

Определение. Бесконечная правильная систематическая дробь по основанию вида называется чисто периодической с периодом длины , если для всех натуральных выполняется равенство , причём - наименьшее натуральное число с таким свойством (т.е. если , то обязательно найдётся натуральное число такое, что ).

Определение. Бесконечная правильная систематическая дробь по основанию вида называется смешанной периодической с периодом длины и предпериодом длины , если для всех натуральных выполняется равенство , причём - наименьшие натуральные числа с таким свойством.

Обозначение. Чисто периодическую дробь с периодом длины будем записывать в виде , а смешанную периодическую дробь - .

Теорема 16.1. Если знаменатель правильной несократимой дроби взаимно прост с основанием системы счисления , то дробь представима в виде чисто периодической -ичной дроби, период которой является наименьшим натуральным числом таким, что ⋮ .

Следствие. Правильная несократимая дробь может быть представлена в виде чисто периодической десятичной дроби тогда и только тогда, когда . При этом длина периода - это наименьшее натуральное число такое, что ⋮ .

Теорема 17.1. Если - каноническое представление числа , причём делится на , но не делится ни на одно из , то правильная несократимая дробь может быть представлена в виде = - смешанной периодической дроби, причём длина предпериода равна наибольшему из показателей (, а длина периода -наименьшее натуральное число такое, что ⋮ , где .

Пример 11. В виде каких десятичных дробей представимы дроби 1) 2)

3)

1) Так как , а 10=2∙5, то дробь представима в виде конечной десятичной дроби:

2) Так как (10,17)=1, то дробь представима в виде чисто периодической десятичной дроби. Прямым вычислением находим, что не делится на 17 при всех натуральных , а ⋮17. Значит, длина периода

3) Так как и 10⋮2; 5, но (10,17)=1, то дробь представима в виде смешанной периодической десятичной дроби с длиной периода (предыдущее задание) и длиной предпериода